Wahrscheinlichkeit - 6 aus 12 Spielkarten

12.07.2023, 21:30

Tinchen1220

Wahrscheinlichkeit - 6 aus 12 Spielkarten

Meine Frage:
Diese Prüfungsfrage sollte sich ohne Taschenrechner leicht ausrechnen lassen, aber irgendwie bekomme ich es nicht hin:

Aus einem Stapel von N=12 Karten wird sechsmal eine Karte gezogen und gezeigt, notiert und wieder zurückgelegt. Ist folgende Aussage korrekt?

-) Die Wahrscheinlichkeit, dass dieselbe Karte zweimal in die Liste eingeht, liegt bei weniger als 20%

Meine Ideen:
Also es ist meines Erachtens die Reihenfolge wichtig und mit Zurücklegen.
Ich interpretiere die Angabe als 12 verschiedene Karten und genau 2 gleiche nach der Ziehung.

Mi meinem wissen kann ich nur sagen, dass es für die 2 gleichen Karten 15 mögliche Positionen gibt.
Hier müsste ich dann jedoch bei der Anzahl der Variationen noch die anderen Stellen berücksichtigen und da haperts bei mir schon.

Stimmt es das es 12^6 verschiedene Möglichkeiten insgesamt gibt?

13.07.2023, 04:32

early

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RE: Wahrscheinlichkeit - 6 aus 12 Spielkarten
Binomialverteilung:

n=6, p= 1/12, k= 2

P(X=2) = ...

13.07.2023, 19:50

HAL 9000

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Die Situation ist dieselbe wie beim Geburtstagsparadoxon, nur mit 12 statt 365.

13.07.2023, 23:06

Tinchen1222

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Hi!

Dankeschön! Jetzt versteh ichs langsam.
Allerdings kommt mir eine Wahrscheinlichkeit von 47,7 % raus und laut Lösung soll unter 20% stimmen.

Also für die günstigen Fälle habe ich jetzt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} * 12 * 11 * 10* 9 * 8 \end{eqnarray*}$

Und die möglichen $\begin{eqnarray*} 12^{6} \end{eqnarray*}$

14.07.2023, 00:07

mYthos

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Die Rechnung á la Geburtstagsparadoxon zeigt aber ein anderes Ergebnis:

[attach]57173[/attach]

mY+

14.07.2023, 07:03

G140723

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RE: Wahrscheinlichkeit - 6 aus 12 Spielkarten
Ich würde so rechnen:

(6über2)* (1/12)^2*(11/12)^4 = 7,35%

14.07.2023, 15:36

mYthos

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Das ist das Ergebnis einer Binomialverteilung mit p = 1/12, n = 6, k = 2: P(X=2) = 0.0735
Ich vermeine, dies hier auch schon in einem Post von early gelesen zu haben, der jedoch wieder verschwunden ist (?).

mY+

14.07.2023, 17:05

Tinchen1223

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Aus der Tabelle werd ich leider nicht schlau verwirrt

Sorry, was sollen die jeweiligen Werte sein

14.07.2023, 17:15

Tinchen1224

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Was ist jetzt genau an meinem Ansatz falsch?
Die Formel der Binomialverteilung läuft ja dann auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} * 11 * 11 * 11 * 11*\frac{1}{12^{6} } \end{eqnarray*}$ herraus.

Mein Kopf raucht nur noch Forum Kloppe

14.07.2023, 18:59

HAL 9000

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Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganz bestimmte (vor dem Ziehen festgelegte) Karte genau zweimal gezogen wird. Das ist wohl nicht das, worum es hier geht.

Die von mir angedachte und von mYthos dann schließlich berechnete Wahrscheinlichkeit gilt dem Ereignis, dass unter den sechs gezogenen Karten mindestens ein Kartenwert mindestens zweimal vorhanden ist. Zugegeben ist die Formulierung

Zitat:

Original von Tinchen1220
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieselbe Karte zweimal in die Liste eingeht

leider etwas verschwommen, da bei dem "zweimal" nicht völlig klar ist, ob "genau zweimal" oder "mindestens zweimal" gemeint ist.

14.07.2023, 19:26

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit - 6 aus 12 Spielkarten
Der Aufklärungsbedarf (Fälle mit mindestens zwei außen vor), dürfte sich also beschränken auf

a) eine bestimmte Karte genau zweimal, die anderen 4 Karten beliebig
b) eine bestimmte Karte genau zweimal, die anderen 4 Karten verschieden
c) 2 Karten gleich, die anderen 4 Karten verschieden

Bemerkung: Wenn die gesuchte Wahrscheinlichkeit weniger als 20% betragen soll, heißt das nicht, dass der wahre Wert nur knapp darunter liegen muß. Es kann sich um eine willkürliche Obergrenze handeln, die letztlich deutlich unterboten wird.

Ein gewisser early hatte denselben zu a) passenden Ansatz wie G140723 angegeben, jemand hat den Beitrag in den Spam verschoben.

15.07.2023, 23:51

mYthos

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Zitat:

Original von Tinchen1223
Aus der Tabelle werd ich leider nicht schlau verwirrt

Sorry, was sollen die jeweiligen Werte sein

Die Tabelle berechnet auf analoge Weise wie im Link zur Geburtstagswahrscheinlichkeit bei n (23) aus m = 365 Tagen im Jahr gezeigt, nunmehr für n (6) aus m = 12 Karten.
In der Spalte p' stehen die Wahrscheinlichkeiten für n = 12 .. 1, dass alle Karten verschieden sind, die Wahrscheinlichkeit p = 1 -p', dass mindestens 2 Karten gleich sind.
Bei n = 6 ist daher

$\begin{eqnarray*} p' = \frac {12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{12^6} = 0.223, \text{ somit ist }p = 1-0.223 = 0.777 \ (77.7%) \end{eqnarray*}$
______________________________________

Zitat:

Original von klauss
...
Ein gewisser early hatte denselben zu a) passenden Ansatz wie G140723 angegeben, jemand hat den Beitrag in den Spam verschoben.

P.S.:
Der Beitrag von early wurde - mit seiner entfernten Komplettlösung - wiederhergestellt.

mY+

16.07.2023, 14:14

kristianpal

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Die Berechnung wurde bereits von mYthos ausgeführt, ich möchte nur etwas zum Verständnis beitragen und erklären, wie man dazu kommt.

Die etwas vage Angabe verstehen wir als:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass mindestens 2 Karten gleich sind?
Bzw. die Umkehrung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p', dass jede Karte nur 1 Mal vorkommt?

Für die Umkehrung stellt man diese Überlegung an:
- Als 1. Karte kann jede der 12 kommen. Das schreiben wir der Vollständigkeit halber als 12/12.
- Als 2. Karte darf jede außer der 1. kommen, also nur 11 von 12 Karten, daher 11/12.
- Als 3. Karte darf keine der beiden Vorherigen kommen, also 10/12.
- Dies setzt sich für die 4. und 5. Karte so fort: 9/12, 8/12
- Analog für die 6. und letzte Karte dürfen die ersten 5 nicht kommen, also 7/12.

Nun multiplizieren wir alle diese Werte:

$\begin{eqnarray*} p'= \frac{12}{12} \cdot\ \frac{11}{12} \cdot\ ...\ \cdot\ \frac{7}{12} \end{eqnarray*}$

vereinfacht

$\begin{eqnarray*} p'= \frac{12\cdot 11\ \cdot\ ...\ \cdot\ 7}{12^{6} } = 0,223 \end{eqnarray*}$

Eine weitere Vereinfachung ist, den Zähler als 12 Fakultät durch 6 Fakultät zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} p'= \frac{12!}{6!\cdot 12^{6} } \end{eqnarray*}$

Dies lässt sich verallgemeinern zu:

m ... Anzahl der Ausgewählten
n ... Gesamtzahl

$\begin{eqnarray*} p'= \frac{n!}{(n-m)!\cdot n^{m} } \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich auch das schon erwähnte Geburtstags-Problem ausrechnen. Hier für eine Gruppe von 23:

m=23
n=365

$\begin{eqnarray*} p'= \frac{365!}{(342)!\cdot 365^{23}} = 0,493 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass dies zum Verständnis beiträgt.

16.07.2023, 17:41

mYthos

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Ja das tut es prinzipiell (bezüglich des Geburtstagsparadoxons).
Nur sind hinsichtlich der Bezeichnungen in den Vorposts und auch dem Wiki-Link die Variablen m und n vertauscht (!)
Das macht aber nichts, wenn man weiß, wovon die Rede ist Big Laugh

mY+

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