Kubische Funktionen

14.07.2023, 15:41

Martin Hümer

Kubische Funktionen

Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreunde,
gegeben ist die kubische Funktion f(x) = 200/3x³ - 1120x² + 2022x + 1159,2
berechnet werden soll:
1.) f´(5,6)
2.) g(x) = 200/3x³ - 1120x² + 0,5*f´(5,6)*x + 1159,2
3.) g´(5,6)
4.) h(x) = 200/3x³ - 1120x² + 0,5*g´(5,6)*x + 1159,2
5.) h´(5,6)
6.) i(x) = 200/3x³ - 1120x² + 0,5*h´(5,6)*x + 1159,2
u.s.w.
Wo endet diese Folge von Funktionen ?
Vielen Dank im voraus für eine eventuelle Hilfe.
mit freundlichen Grüßen
Martin Hümer, Wesertal

Meine Ideen:
Muss man der Reihe nach alle Punkte bis zum (unendlichen) Schluss abarbeiten ? ODER gibt es eine Formel, mit der man die Lösung sofort berechnen kann ?

14.07.2023, 21:51

IfindU

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RE: Kubische Funktionen
D.h. was du hast die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = c + \frac 1 2 a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = 200 \cdot 5,6^2 - 2240 \cdot 5,6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1 = f'(5,6) = c+2022 \end{eqnarray*}$ .

Wenn es gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} =\lim_{n \to \infty} a_{n} = a \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = c + \frac 1 2 a_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} a = c + \frac 1 2 a \end{eqnarray*}$ . Umgestellt $\begin{eqnarray*} a = 2c \end{eqnarray*}$ .

Die Folge ist monoton und sie sollte beschränkt sein. Sobald man das nachgewiesen hat, ist die obige formale Rechnung gültig und wir haben tatsächlich einen Grenzwert.

15.07.2023, 18:47

Martin Hümer

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RE: Kubische Funktionen
Hallo IfindU,
vielen, vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Die Lösung ist also -6272.
Ich wünsche Dir ein schönes Wochenende.
mit freundlichen Grüßen
Martin

15.07.2023, 18:49

Martin Hümer

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RE: Kubische Funktionen
200/3x³ - 1120x² - 6272x + 1159,2

17.07.2023, 11:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
D.h. was du hast die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = c + \frac 1 2 a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = 200 \cdot 5,6^2 - 2240 \cdot 5,6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1 = f'(5,6) = c+2022 \end{eqnarray*}$ .

Da fehlt ein Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ beim $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{2}\left(200 \cdot 5,6^2 - 2240 \cdot 5,6\right) = -3136 \end{eqnarray*}$ .

31.07.2023, 11:12

Martin Hümer

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Hallo HAL 9000,
die Berechnung von IfindU konnte ich nachvollziehen, Deine aber leider nicht.
IfindU hat die 1. Ableitung in 2 Teile gesplittet.
Du hast aber nur den ersten Teil, hier c mit dem Faktor 1/2 multipliziert. Ist das denn richtig ?
Es wäre sehr schön und hilfreich für mich, wenn Du mir noch einmal eine Rückmeldung geben könntest.
Vielen Dank im voraus.
mit freundlichen Grüßen
Martin Hümer

31.07.2023, 11:31

HAL 9000

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Leider hat IfindU ja das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht vorher definierend eingeführt, daher war ich vom naheliegenden Ansatz

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{200}{3}x^3 - 1120x^2 + a_nx + 1159.2 \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_0 = 2022 \end{eqnarray*}$

ausgegangen. Kann sein, dass er stattdessen

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{200}{3}x^3 - 1120x^2 + \frac{a_n}{2}x + 1159.2 \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_0 = 4044 \end{eqnarray*}$

gemeint hat...

31.07.2023, 12:24

IfindU

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@HAL Stimmt, habe das letztere gemeint. Aber ja, Versäumnis meinerseits, damals war mir klar was ich meinte und dass es das natürlichste der Welt ist es genau so zu definieren. Hammer

31.07.2023, 16:41

HAL 9000

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Ja, die Ansicht was "naheliegendste" Variante ist, kann dann doch sehr subjektiv sein. Big Laugh

Jetzt in Nachhinein betrachtet hätte ich es anhand deines $\begin{eqnarray*} a_1 = f'(5,6) = c+2022 \end{eqnarray*}$ dann doch merken müssen.

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