Module

15.07.2023, 21:08

Weduschii

Module

Meine Frage:
Wie folgt:

Meine Ideen:
a) Zeigen eines R modul homomorphismus ist klar. Surjektiv, also ist zu zeigen, dass jedes f(X) ein a aus K^ n existiert. Verstehe aber nicht, was für Werte in der einzelnen Komponenteb stehen. Weil f(A) ist ja auch aus K^ nxn , f(A) * v ist doch dann aus K^n. Wäre wichtig zu verstehen
b)
Muss gezeigt werden, dass jedes element welches auf die 0 abgebildet wird entsprechende Form hat (X *ei-A*ei)
c)
???

17.07.2023, 15:42

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RE: Module

Zitat:

Original von Weduschii
also ist zu zeigen, dass jedes f(X) ein a aus K^ n existiert

Das verstehe ich ebensowenig wie die Definition von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .
Es sei denn, man identifiziert $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1\\\vdots \\v_n\end{pmatrix}\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1e_1\\\vdots \\v_ne_n\end{pmatrix}\in V^n \end{eqnarray*}$ .
Weil $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ zugelassen ist, hat man beim Nachweis der Surjektivität nicht viel Möglichkeiten smile

17.07.2023, 15:46

Weduschij

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RE: Module
Sowie ich das verstanden habe, sind die Polynome die Argumente des Homomorphismus. Und wie du es identifizierst scheint es richtig zu sein. Das mit der Surjektivität peile ich leider nicht.

17.07.2023, 16:06

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RE: Module
Sehe ich auch so. Man muss also zu $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots v_n\in \mathbb K \end{eqnarray*}$ passende Polynome $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots ,f_n\in R \end{eqnarray*}$ finden. Wenn man $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ wählt, ist $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ immer ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Also kann man für den Beweis der Surjektivität auch gleich nach passenden konstanten Polynomen suchen.

17.07.2023, 16:26

Weduschij

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RE: Module
Also das für A=0 f(A) ein Vielfaches von I ist, ist klar. Aber ich kann doch nicht einfach annehmen das A Null ist. Also mir ist auch nicht ganz klar wie das bei der Surjektivität hilft. Dass ich die Funktionen entsprechend wählen muss verstehe ich, aber nicht wie ich darauf komme.

17.07.2023, 16:31

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RE: Module
Wenn die Behauptung für jede Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ richtig sein soll, dann muss sie es auch für $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ sein. In diesem Fall bleibt von deinen Polynomen nur der konstante Anteil übrig.
Also kann man doch auch gleich damit anfangen, nur unter den konstanten Polynomen zu suchen. Das ist zunächst ein Ansatz - der glücklicherweise auch sehr schnell zu Ziel führt. Man muss sich nur einmal aufschreiben, was $\begin{eqnarray*} f(A)e_1=v_1e_1 \end{eqnarray*}$ bei konstantem Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bedeutet.

17.07.2023, 16:33

Weduschij

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RE: Module
Hab noch nachgedacht uns es dann geschnallt und schwapp kam schon deine Antwort. Überlege mal welches Polynom sinvoll IS zu wählen

17.07.2023, 16:57

Weduschij

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RE: Module
Okay, noch nicht ganz am Ziel bei Ag a), aber:
Ist A= 0, dann ist f konstant ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix mal den entsprechenden einheitsvektor v_i ergibt die i-te Spalte der Einheitsmatrix. Wählt man diese Vielfache dementsprechend, so erhält man jedes v aus V was man will. Entschuldige die unmathematische Schreibweise.

17.07.2023, 17:01

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RE: Module
Angesichts von

Zitat:

einheitsvektor v_i

denke ich, dass du auch gedanklich noch nicht am Ziel bist - von der Sprache ganz zu schweigen smile

17.07.2023, 17:11

Weduschij

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RE: Module
Okay, folgendes. (v1,v2,...,vn)^t ist aus K^ n. Wir wollen zeigen, dass es ein f=(f1,f2,..,fn)^t gibt, sodass £(f) =(v1,v2,...,vn)^t für alle A.

Betrachten wir A=0

Dann ist f_i für alle i konstant. Dann wähle f_i= v_i * I ( I ist die Einheitsmatrix) Dann ist v_i*I*e_i = v_i ( Mit der entsprechenden Interpretation von den v's die du auch angesprochen hast). Also wird jedes v mit A= 0 getroffen

Sei nun A=/ 0. Dann wählen wir die Koeffizienten des Polynoms so, dass a_i =0für alle i> 0. Dann haben wir wieder konstante Polynome, für die wir die Surjektivität bewiesen haben.

Also ist £ surjektiv ( hab kein anderes Symbol gerade am Handy gefunden

17.07.2023, 17:39

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RE: Module
Da ist vieles richtig, manches aber auch falsch.

Zitat:

Okay, folgendes. (v1,v2,...,vn)^t ist aus K^ n. Wir wollen zeigen, dass es ein f=(f1,f2,..,fn)^t gibt, sodass £(f) =(v1,v2,...,vn)^t für alle A.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist fest. Man kennt nur ihre Dimension, weiß aber nicht, wie sie konkret aussieht. Nichtsdestotrotz ist sie fest. "für alle A" ist also falsch. Da mag dich mein Beitrag von 16:31 auf die falsche Fährte geführt haben.
Ich würde das Ziel auch ein wenig anders formulieren: Für jeden Vektor (v1,v2,...,vn)^t gibt es Polynome f_1,...f_n, sodass $\begin{eqnarray*} \phi((f_1,\ldots ,f_n)^T)=(v_1,\ldots v_n)^T \end{eqnarray*}$ .
Warum du das f eingeführt hast, weiß ich nicht. Vielleicht um die Notation hier zu vereinfachen. Nützlich erscheint es mir nicht.

Mein Hinweis auf den Fall A=0 sollte nur die Wahl der konstanten Polynome motivieren.
Auch für A=0 ist die Aussage

Zitat:

Dann ist f_i für alle i konstant.

einfach falsch. Man kann die f_i konstant wählen und das wird Erfolg haben, aber es folgt aus nichts

In der Lösung der Aufgabe hat in meiner Welt die Unterscheidung von A=0 oder A ungleich Null nichts mehr verloren. Deswegen wähle $\begin{eqnarray*} f_i(X)=v_i \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann wähle f_i= v_i * I

ist falsch, weil das kein Polynom ist sondern eine Matrix.
Bei Wahl von $\begin{eqnarray*} f_i(X)=v_i \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_i(A)=v_iI \end{eqnarray*}$ .

17.07.2023, 17:54

Weduschij

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RE: Module
Also hat das A=0 nix in der Lösung zu suchen, sondern war eher ein Gedankenspiel um auf die Lösung zu kommen.

Sonst aber ist die Lösung mit der Wahl eines festen As trotzdem richtig.

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