Elemente von Z_3

16.07.2023, 10:13	Schueler13	Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente von Z_3 Hey, Ich bin über die Bezeichnung $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ gestolpert und frage mich, was sind denn die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ ? Wenn ich das richtig verstanden habe, sind das alle Elemente {0,1,2}. Das sind die Reste wenn man Modulo 3 rechnet, aber wie sieht das aus mit negativen Zahlen? Sind die da auch "enthalten", weil ja -1 = 2 ist wenn man modulo 3 rechnet? Danke vielmals!
16.07.2023, 10:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Menge $\begin{eqnarray} \{0,1,2\} \end{eqnarray}$ sind die Reste modulo $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ enthalten. Das sind aber nicht die Restklassen $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3=\mathbb Z/3\mathbb Z=\{\overline 0,\overline 1,\overline 2\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} -1=2 \end{eqnarray}$ stimmt nicht, nicht in natürlichen Zahlen und nicht modulo $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} -1\equiv 2\mod 3 \end{eqnarray}$ ist richtig, weil $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ in der Restklasse $\begin{eqnarray} \overline 2 =\{...,-7,-4,-1,2,5,8,...\} \end{eqnarray}$ liegt. $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ist kongruent $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ , die Restklassen in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ sind gleich: $\begin{eqnarray} \overline {-1}=\overline 2 \end{eqnarray}$ .
16.07.2023, 13:11	Schueler13	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant! Ich frage mich, kann man aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ auch Vektoren bilden, also geht sowas wie $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3^2 \end{eqnarray}$ ? Und wie sehen diese Vektoren aus . Würde $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein möglicher Vektor und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch möglich sein, die in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3^2 \end{eqnarray}$ enthalten sind? Danke!
16.07.2023, 13:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und nein. Die Komponenten der Vektoren müssen Restklassen sein und keine ganzen Zahlen. Weil 3 eine Primzahl ist, ist der Restklassenring ein Restklassenkoerper, und die Vektoren mit k Komponenten bilden tatsächlich einen Vektorraum der Dimension k über diesem Körper. Man schreibt für eine Primzahl m=p aber nicht mehr $\begin{eqnarray} \mathbb Z_m \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ um deutlich zu machen, dass es sich nicht nur um einen Ring handelt sondern um einen Körper (engl. Field). Der von dir (aus Restklassen!) konstruierte Vektorraum heißt tatsächlich $\begin{eqnarray} \mathbb F_3^2 \end{eqnarray}$ . Dieselbe Konstruktion über einem Ring ist nicht ganz so schön wie ein Vektorraum und heißt deswegen Modul (jetzt kennst du auch den Grund für die Bezeichnung modulo). Es kommt noch dazu, dass es über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ einen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^k} \end{eqnarray}$ gibt, der auch als Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ aufgefasst werden kann. Weil $\begin{eqnarray} \mathbb F_p^k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^k} \end{eqnarray}$ gleich viele Elemente, nämlich genau $\begin{eqnarray} p^k \end{eqnarray}$ Elemente haben, kann man sie als Vektorräume gar nicht von einander unterscheiden. Damit sind wir schon in einem weiteren Teilgebiet der Algebra angekommen. Übrigens erinnere ich, dass solche Strukturen in der Raumfahrt (Germini ? 1960-er Jahre) eine wesentliche Rolle gespielt haben, weil man damit preiswerte fehlertolerante Codes für die Nachrichtenübertragung konstruiert hat.
16.07.2023, 16:45	Schueler13	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha. Wäre es denn möglich die Vektoren zum Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so zu schreiben, wenn man das modulo 3 berücksichtigt? Man könnte dann ja auch $\begin{eqnarray} 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ modulo 3 schreiben. Weil ich habe noch nie gesehen, dass ein Vektor so $\begin{eqnarray} \overline {\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ geschrieben wird. Danke! Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
16.07.2023, 16:50	Schueler13	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sollte stehen sowas wie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \overline 2 \\ \overline 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , das habe ich so noch nicht gesehen. Sondern eher Vektoren der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wo man dann das modulo 3 im Hintergrund berücksichtigt.
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16.07.2023, 19:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch nie Vektoren gesehen, deren Komponenten Restklassen sind, weil im normalen Leben nur Vektorräume über Zahlkörpern auftreten, also stehen natürlich nur Zahlen in den Vektoren. Wenn man wie wir das hier machen, Vektorräume über Restklassenkoerpern betrachtet, dann ist es schlampig, Zahlen statt Restklassen zu schreiben. Spätestens dann, wenn man ernsthaft damit arbeitet, führt eine solche Schlamperei zu Irrtümern, Verwechslungen und Fehlern. Ich rate dazu, den Restklassen modulo $\begin{eqnarray} m:\overline a=a+m\mathbb Z \end{eqnarray}$ den Überstrich zu gönnen, einfacher und genauer kann man es nicht machen. Mein Gehirn wird sehr schnell überlastet, wenn ich nicht ordentlich arbeite und mir dauernd etwas hinzudenken muss, was nicht dasteht.

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