Maximale Ordnung unter Gruppen

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Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Ordnung unter Gruppen
Meine Frage:
Wie folgt:

Meine Ideen:
Ansatz: Also die ordnung eines Elements a ist eine Zahl n>0, sodass a^n= 0( wobei das n so klein wie möglich sein soll). Falls so ein n nicht existiert, ist die Ordnung unendlich. Bei der a) wäre die Ordnung meines Erachtens nach unendlich, da z.B (0,0,1) egal wie oft man es potenziert, nie = 0 sein wird, da 1 in Z/2Z nie null wird. Eine Kommilitone meint die Ordnung wäre 2 ( kgv von 2, 36, 42). Seinen Ansatz verstehe ich nicht, daher gerne anhand der ag a erklären damit ich den Rest lösen kann (richtig lösen hoffentlich).

Dankeschön im Vorraus
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Hab NAchforschungen angestellt und dabei scheint folgendes zu gelten.

g^n= n*g(edit: Diese Gleichung sieht natürlich kriminell falsch aus, mir ging es nur darum zu zeigen, dass das Wort Potenz bei uns in der Defintion scheinbar anders gemeint war) Ergo lässt sich die Ordnung ganz anders berechnen. Beispielsweise werden die Elementarteiler von Z/Z36 wie folgt berechnet:

36=2*2*3*3

Höchste Potenz von 2 und 3 ist 2, also bilden wir die Kombination von folgenden Zahlen:
(2^0,2^1,2^2) und (3^0,3^1,3^2). Also (1,2,3,4,6,9,12,18,36)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Abelsche Gruppen sind additiv zu verstehen. Sind A und B abelsche Gruppen, dann ist.
ist die zyklische Restklassengruppe der Ordnung m.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Wie prüfe ich hierbei ob die Gruppen isomorph sind?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten studierst du den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Damit sind die endlichen abelschen Gruppen abgedeckt. Wenn dir das zu viel Mühe macht, dann geht es bestimmt auch anders, m.E. aber nicht einfacher.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Machen den Hauptsatz von Moduln über Hauptidealbereiche momentan ( bzw. Wir haben es abgeschlossen) mit jeglichen Zerlegungssätzen etc., also sollen wir das bestimmt damit lösen. Zur Isomorphie kann man sagen, dass ii und iii isomorph sind ( Chinesischer Restsatz). Die Ordnung g eines Elements x ist ja g*x=0 in Gruppen ( Sofern ich es richtig verstanden habe). Dann ist die maximale Ordnung die größte Ordnung von allen Element. Ist das aber nicht immer gleich der Gruppenordnung, also bei Z/nZ dann n? Verstehe die Aufgabe immer noch nicht so ganz. Und der Zusammenhang zum Aktuellen Thema der Vorlesung erschließt sich mir auch nicht.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ordnung eines Gruppenelements ist ein Teiler der Gruppenordnung (Satz von Lagrange). Es gibt zum Beispiel genau 2 abelsche Gruppen der Ordnung 4.
ist zyklisch. , also gibt es ein Element der Ordnung 1, 2 Elemente der Ordnung 4 (Erzeuger der Gruppe), 1 Element der Ordnung 2. Zu jedem Teiler der Gruppenordnung hat eine zyklische Gruppe genau eine Untergrupe dieser Ordnung und sonst keine.
hat ein Element der Ordnung 1 und 3 Elemente der Ordnung 2. Die Elemente der Ordnung 2 erzeugen 3 Untergruppen der Ordnung 2. Die Struktur abelscher Gruppen regelt der Hauptsatz, also studiere ihn.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Lässt sich die Isomorphie auch mit diesem Satz lösen?
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Frage selber beantwortet: ja.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Will euch meine vermeintliche Lösung nicht vorenthalten ( Gerne nochmals berichtigen)

Isomorph sind i und v
ii , iii und vi.

Maximale Ordnung
i 252
ii3024
iii 3024
iv 42
v 252
vi 3024
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Folgt die Isomorphie wirklich schon aus dem Hauptsatz oder braucht man den Elementarteilersatz? Bei Wikipedia erkennt man das im Abschnitt "Folgerungen" im Artikel "Hauptsatz...", wenn man genau hinsieht.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, Fehler meinerseits. Wir behandeln den Hauptsatz von Moduln über HIB in der Vorlesung. Den über die abelschen Gruppen haben mir meines Wissens nicht in der Vorlesung behandelt, nichtsdestotrotz habe ich diesen Satz, wie du meintest, studiert. Ist meine Lösung deiner Meinung nach zufriedenstellend bzw. Richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Abelsche Gruppen sind Moduln über . Daher gilt alles für abelsche Gruppen, was für Moduln über Hauptidealringen gilt.
i,iii,vi ist klar. Wie berechnest du die drei anderen Gruppen ?
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die maximale Ordnung der Gruppen so berechnet, dass ich das kgv der höchsten Potenzen der vorkommenden Primzahlen gebildet habe. So dachte ich kann man zwischen den Isomorphieklasssn unterscheiden. Habe mir dafür die Lektüre Algebra von ChristianKarpfinger
KurtMeyberg angeschaut.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, so funktioniert das nach dem Hauptsatz und seinen Folgerungen, weil die Elementarteilerkette mit der groessten zyklischen Untergruppe endet und diese von einem Element groesstmoeglicher Ordnung erzeugt wird, und weil diese Darstellung eindeutig ist.
Für mich ist es höchst erstaunlich, dass eine größte zyklische Untergruppe einer abelschen Gruppe schon die ganze Gruppe festgelegt. Der Kofaktor kann anscheinend nicht verschiedene Isomorphietypen haben.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir gerade bisschen unsicher ob dein Erstaunen echt ist oder ob du damit ausdrücken willst, wie erstaunt du über meine Fehler bist Augenzwinkern . Jedenfalls danke ich dir vielmals für deine Hilfe Big Laugh .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann immer noch staunen, auch wenn ich seit fast 50 Jahren Algebra zu studieren mich bemühe. Es ist unglaublich, wie viele Wunder die Mathematik zu bieten hat. Ich mache mich nicht über dich lustig, sondern freue mich über deine Fortschritte und versuche mit dir mitzudenken. Ich bin ziemlich sicher, dass du die richtige Lösung gefunden hast.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Die Faszination für die Mathematik hat mich schon früh gepackt und hört auch gar nicht auf. Wie man aufgrund paar bestimmter Axiome und und Logik sowas aufbauen konnte... Faszinierend. Dies war auch ausschlaggebend für mein Mathematik Studium und ich finde es sehr schön Menschen zu treffen, die diese Faszination teilen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Soeben habe ich geträumt, dass 2x2x4=4x4=16 ein Gegenbeispiel dafür ist, dass der Isomorphietyp abelscher Gruppen bereits durch Gruppenordnung und maximale Elementordnung festgelegt ist. Nach dieser "Erleuchtung" musst du doch noch begründen, warum i und v isomorph sind, falls sie isomorph sind.
Deine anderen Aussagen sind wahr, aber auch wahre Aussagen müssen bewiesen werden (hat Richard Dedekind in der Einleitung zu seiner epochalen Schrift "Was sind und was sollen die Zahlen?" geschrieben).
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