Rundungsfehler

16.07.2023, 23:23

Larissa5

Rundungsfehler

Meine Frage:
Welcher Term ist anfälliger für Rundungsfehler?
$\begin{eqnarray*} x+(y+z)=(x+y)+z \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} |x|>>|y|~|z| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Auf der linken Seite könnte natürlich Auslöschung auftreten, aber auf der rechten Seite zwei Zahlen möglicherweise etliche Potenzen auseinander zu addieren kann ja numerisch auch nicht so leicht sein...

17.07.2023, 09:31

G170723

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rundungsfehler

Zitat:

auseinander zu addieren

Was soll das bedeuten?
Was bedeutet > >?

17.07.2023, 10:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du wirklich $\begin{eqnarray*} |x|\gg |y|~|z| \end{eqnarray*}$ (also rechts ein Produkt) oder nicht doch eher $\begin{eqnarray*} |x|\gg |y|,|z| \end{eqnarray*}$ ?

Im ersteren Fall könnte nämlich auch $\begin{eqnarray*} x=1,y=10^{-10},z=10^5 \end{eqnarray*}$ gemeint sein...

Generell sollte man von den Betragkleinsten anfangen zu summieren. Wenn man beispielsweise die Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ der harmonischen Reihe in genau der üblichen Summationsreihenfolge numerisch mit 32Bit-Floatingpoint-Zahlen bildet, so bleiben die Werte ab $\begin{eqnarray*} n=2^{21}-1=2\,097\,151 \end{eqnarray*}$ konstant, d.h., alle folgenden Summanden fallen der Auslöschung anheim und ändern das bis dahin erzielte Ergebnis nicht mehr.

Erzieltes Ergebnis bis dahin ist übrigens $\begin{eqnarray*} 15.4037 \end{eqnarray*}$ . Summiert man in umgekehrter Reihenfolge (also vom kleinsten Summanden beginnend), so bekommt man 15.1329 heraus, was dem genauer ausgerechneten Ergebnis 15.1333 schon recht nahe kommt.

17.07.2023, 20:19

Larissa5

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Latex wurde wohl ein Zeichen nicht erkannt. Gemeint war tatsächlich $\begin{eqnarray*} |x|\gg |y|\approx|z| \end{eqnarray*}$

17.07.2023, 21:15

Larissa5

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich wie du meintest mit den kleinsten Elementen beginne zu summieren, dann kriege ich doch in diesem Fall hier eventuell Probleme mit der Auslöschung oder ist dieser Effekt irrelevant?

18.07.2023, 09:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir ein einfaches Beispiel (binär):

3 Stellen Mantisse und die drei Zahlen $\begin{eqnarray*} x=1, y=z=0,00011 \end{eqnarray*}$ . Dann ergeben die Rechnungen

$\begin{eqnarray*} \left(x \oplus y\right) \oplus z = \operatorname{rd}(1,00011) \oplus 0,00011 = 1\oplus 0,00011 = \operatorname{rd}(1,00011) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \oplus \left(y \oplus z\right) = 1 \oplus \operatorname{rd}(0,0011) = \operatorname{rd}(1,0011) = 1,01 \end{eqnarray*}$

Der exakte Summenwert ist ja 1,0011. Welches der beiden Ergebnisse oben ist näher dran?

Neue Frage »

Antworten »

Rundungsfehler

Verwandte Themen