Kurvendiskussion

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Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion
Meine Frage:
widersprüchliche Nullstelle einer Ableitung bei Kurvendiskussion.

Mal eine grundsätzliche Frage: wenn man bei Kurvendiskussionen die Nullstelle(n) einer Ableitung ermitteln soll, diese sich aber je nach "Vereinfachung" der differenzierten Funktion "widersprechen", wie ist dabei zu verfahren.

Mein konkretes Beispiel:

Die Funktion lautet:

Natürlich ist die einzige Nullstelle der Funktion bei x = 0.

Ich kann die Funktion aber auch umschreiben bzw. "vereinfachen", und zwar:

.

Die anfangs ermittelte Nullstelle für f(x) mit x = 0 ist nun "verboten" bzw. wird zur Polstelle der Funktion. Dieselbe Funktion, nur leicht umgestellt, ergibt verschiedene Null- und Polstellen. Wie ist bei einer Kurvendiskussion in solchen Fällen zu verfahren?

Meine Ideen:
Keine Ideen, sonst würde ich nicht fragen.
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RE: Kurvendiskussion / Diskussion einer Funktion
Die beiden Funktionen haben unterschiedlichen Definitionsbereich, sind also verschieden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens ist deine Termumstellung des Funktionsterms nur für erlaubt, für eben nicht.

Zweitens ist deine Aussage, dass eine Polstelle der Funktion ist, schlicht falsch: Es ist eine Polstelle des Nenners (!!!) deines umgestellten Terms - das hat nichts mit den Polstellen der Funktion zu tun. unglücklich

Die einzige reelle Polstelle von liegt bei .
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion / Diskussion einer Funktion
Das war meine Frage. Du sagst "verschieden", sie sind aber doch identisch - es ist dieselbe Funktion, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionsbereiche sind verschieden, damit auch die Funktionen:

hat Definitionsbereich .

hat hingegen Definitionsbereich .

Dass beide Funktionen auf jenem übereinstimmen, steht auf einem anderen Blatt.
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

Das leuchtet mir eben nur bedingt ein, daher meine Frage.
Es ist doch eigentlich dem "Zufall" überlassen, wenn ich eine Funktion ableite, wann ich damit Schluss mache und welche Löstung ich "schön und einfach" finde.

Aber ja, du hast Recht: die einzige Polstelle der Funktion liegt tatsächlich bei x = - 1 und zwar für beide "Varianten" der Funktion.

Mal ganz konkret: wenn ich nach der Nullstelle dieser Ableitung gefragt werde, was müsste ich antworten? bei x = 0???
 
 
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

Auch den Satz muss ich erstmal sacken lassen:

die Polstelle des Nenners einer Funktion ist nicht automatisch die Polstelle dieser Funktion.

Aber wenn der Nenner einer Funktion "verboten" ist ist damit doch auch die gesamte Funktion " verboten"? Dachte ich bis vor 5 Minuten.....
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kognitivist
wenn ich nach der Nullstelle dieser Ableitung gefragt werde

Ich würde zunächst anmerken, dass das eine seltsame Formulierung ist angesichts dessen, dass die Ableitung mehr als eine reelle Nullstelle hat. Augenzwinkern

EDIT: Ok, mir fällt gerade auf, dass du wohl nicht "Ableitung" sondern nur "Umformung" meinst - Vorsicht mit den Begriffen!!!
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nach den Nullstellen, schon klar.
In dem Fall gibt es aber nur eine.
Zur Kurvendiskussion gehört halt die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion, man will ja Maximal bzw. Minima untersuchen. Aber wem sage ich das.
Müsste ich in dem Falle in eine umfangreiche Diskussion eintreten, dass die Nullstelle(n) je nach subjektiver Darstellungsform meiner Ableitungslösung sich ändern?
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) =

war die erste Ableitung einer Funktion, die ich jetzt nicht mehr präsent habe, also f(x)' strenggenommen sozusagen. Die Ausgangsfunktion ist aber uninteressant.
Und jetzt wird für f(x)' =
nach der/den Nullstelle(n) gesucht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache steht und fällt mit dem angegebenen Definitionsbereich der Funktion. Da braucht es keine Diskussion um die Darstellung der Funktion. Wenn kein Definitionsbereich angegeben ist, wird gerne stillschweigend der maximal mögliche Definitionsbereich angenommen.

Zudem scheinst du Polstellen mit Definitionslücken zu verwechseln. Betrachten wir mal mit (maximalem) Definitionsbereich
Dann sind 1 und -1 Definitionslücken aber bei 1 liegt keine Polstelle vor. Es ist vielmehr . Jetzt kann man aber eben nicht hemdsärmelig einsetzen, weil das nicht im Definitionsbereich von ist!
Man kann aber eine neue Funktion mit Definitionsbereich definieren durch für und und hat damit eine, sogar stetige, Fortsetzung von
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kognitivist
war die erste Ableitung einer Funktion, die ich jetzt nicht mehr präsent habe

Glaub ich gern, denn das Dings wäre ein wahres Formelmonster. Aber vielleicht hast du dich ja auch verschrieben, und es geht stattdessen um .
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein spannendes Beispiel wo sich durch einfaches Umstellen einer Funktion Gravierendes ändert.
Danke. Dachte bisher immer Definitionslücke = Polstelle. Ich fürchte ich muss da nochmal über die Begrifflichkeiten gucken.
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