Newton-Cotes-Formeln

20.07.2023, 11:36

NewtonCotes

Newton-Cotes-Formeln

Meine Frage:
Ich habe 2 Fragen zu den Newton Cotes Formeln:
Warum springt der Grad der Polynome, die von den Newton Cotes Formeln exakt integriert werden in 2er Potenzen?
Wieso summieren sich die Gewichte $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bei den Formeln der Form: $\begin{eqnarray*} I=(b-a)\sum\limits_{k=1}^{n} a_kf(x_k) \end{eqnarray*}$ stets zu 1?

Meine Ideen:
Vielen Dank im Voraus

20.07.2023, 13:41

HAL 9000

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EDIT: Antwort zur ersten Frage gelöscht.

Zitat:

Original von NewtonCotes
Wieso summieren sich die Gewichte $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bei den Formeln der Form: $\begin{eqnarray*} I=(b-a)\sum\limits_{k=1}^{n} a_kf(x_k) \end{eqnarray*}$ stets zu 1?

Nun das mindestens was man verlangen sollte ist, dass konstante Funktionen exakt integriert werden, z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ :

Und damit dort der exakte Integralwert $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x = b-a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I=(b-a)\sum\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ übereinstimmt, ist was nötig?

20.07.2023, 13:47

NewtonCotes

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Für konstante Funktionen macht es Sinn, dass die Gewichte sich zu 1 summieren, aber warum verallgemeinert sich das auf nicht-konstante Funktionen?

20.07.2023, 13:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von NewtonCotes
Für konstante Funktionen macht es Sinn, dass die Gewichte sich zu 1 summieren, aber warum verallgemeinert sich das auf nicht-konstante Funktionen?

Die Werte $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ hängen nur von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab, nicht von der konkreten Funktion - das sollte eigentlich klar sein. unglücklich

Zitat:

Original von NewtonCotes
Warum springt der Grad der Polynome, die von den Newton Cotes Formeln exakt integriert werden in 2er Potenzen?

Verstehe ich nicht, was du damit meinst. unglücklich

Mit gegebenen $\begin{eqnarray*} a,b,n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a\leq x_1 < \ldots < x_n\leq b \end{eqnarray*}$ kannst du die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\ldots,\alpha_n \end{eqnarray*}$ derart konstruieren, dass alle Polynome bis zum Grad $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ auf diesem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ mit der obigen Formel exakt integriert werden. Wo siehst du hier "Sprünge" in 2er-Potenzen beim Grad der Polynome??? verwirrt

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