LU-Zerlegung

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Egon14 Auf diesen Beitrag antworten »
LU-Zerlegung
Meine Frage:
In meinem Skript steht, dass für reguläre Matrizen die LU Zerlegung existiert. Allerdings gilt ja auch z.B., also für eine nichtreguläre Matrix. Für weitere Beispiele klappt es bei mir auch mit nicht regulären Matrizen. Oder sagt mein Skript nur, dass die LU Zerlegung für reguläre Matrizen garantiert existiert und bei den anderen eben nicht unbedingt? Wenn ja wann würde es denn nicht funktionieren?

Meine Ideen:
?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egon14
In meinem Skript steht, dass für reguläre Matrizen die LU Zerlegung existiert.

Stimmt genau genommen nicht, evtl. ist nämlich eine Zeilenvertauschung zwingend nötig, also mit einer Permutationsmatrix -

Wenn du das nicht glaubst, dann gibt doch mal eine LU-Zerlegung für die reguläre Matrix an. Augenzwinkern


Was singuläre betrifft, dort ist oft die Eindeutigkeit der Zerlegung nicht gegeben: So gilt zweifelsohne



für beliebig gewählte .

--------------------------------------------------------

Betrachtet man sich den üblichen Algorithmus (mit Pivotisierung) genauer, dann kann im Fall singulärer Matrizen folgendes passieren:

Trotz erfolgter Pivotisierung kann es dann geben mit für alle . Dann mutiert der Algorithmenschritt zu einem nicht statthaften .

Ausweg: Man setzt beliebig fest (naheliegend wäre 0, muss aber nicht sein), dann sollte der Rest m.E. klappen. Konsequenz ist, dass dann auf der Hauptdiagonale von auch Nullen auftauchen können - und nicht zwingend erst ganz zuletzt (wie in deinem Beispiel), wo es den normalen Algorithmus nicht stört.
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