Termumformung

20.07.2023, 13:07

severiney

Termumformung

Wolfram Alpha sagt mir, dass $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x}-x)/(1-x) = \sqrt{x}/(1+\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ ist. Ich schaffe es allerdings selbst nicht die Umformung hinzukriegen. Kann mir jemand weiterhelfen?

Besten Dank

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20.07.2023, 13:13

willyengland

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- Nenner mit der 3. binom. Formel umformen
- im Zähler Wurzel x ausklammern
und dann kürzen

20.07.2023, 13:21

severiney

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vielen dank!

20.07.2023, 14:19

severiney

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Ok, Ich stecke bei der Folgeaufgabe wieder fest. Diesmal ist der Therm riesig. Irgendeine Idee, wie ich hier vorgehen muss?

$\begin{eqnarray*} x=\frac{(a*\frac{(1-x)^\lambda}{(1-x)^\lambda +x^\lambda })^\lambda} {(a*\frac{(1-x)^\lambda}{(1-x)^\lambda +x^\lambda })^\lambda +(1-\frac{(1-x)^\lambda /(1-x)^\lambda}{ +x^\lambda )})^\lambda} \end{eqnarray*}$

Ich muss nach x auflösen. Die Lösung ist: $\begin{eqnarray*} x=\frac{a^\frac{\lambda }{\lambda ^2+1} }{1+a^\frac{\lambda }{\lambda ^2+1}} \end{eqnarray*}$

20.07.2023, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von severiney
$\begin{eqnarray*} x=\frac{(a*\frac{(1-x)^\lambda}{(1-x)^\lambda +x^\lambda })^\lambda} {(a*\frac{(1-x)^\lambda}{(1-x)^\lambda +x^\lambda })^\lambda +(1-\frac{(1-x)^\lambda /(1-x)^\lambda}{ {\color {red}+x^\lambda )}})^\lambda} \end{eqnarray*}$

Da scheint irgend etwas schief gegangen zu sein. verwirrt

Womöglich sollte das stattdessen

$\begin{eqnarray*} x=\frac{(a*\frac{(1-x)^\lambda}{(1-x)^\lambda +x^\lambda })^\lambda} {(a*\frac{(1-x)^\lambda}{(1-x)^\lambda +x^\lambda })^\lambda +(1-\frac{(1-x)^\lambda} { {\color {red}(1-x)^\lambda+x^\lambda}})^\lambda} \end{eqnarray*}$

heißen?

20.07.2023, 15:17

severiney

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Oha, ja, du hast recht. Dankeschön.

21.07.2023, 06:57

HAL 9000

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Gut, gehen wir von diesem Term aus, und erweitern rechts mit jenem $\begin{eqnarray*} \left((1-x)^{\lambda}+x^{\lambda}\right)^{\lambda} \end{eqnarray*}$ , wir kürzen dabei $\begin{eqnarray*} b:=\left(a\cdot (1-x)^\lambda\right)^{\lambda} = a^{\lambda}\cdot (1-x)^{\lambda^2} \end{eqnarray*}$ ab und nehmen noch ein paar äquivalente Umformungen vor:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{b}{b + \left((1-x)^{\lambda}+x^{\lambda} - (1-x)^\lambda\right)^\lambda} = \frac{b}{b + x^{\lambda^2}}\qquad \Bigm|~\cdot \left(b+x^{\lambda^2}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xb + x^{\lambda^2+1} = b\qquad \Bigm|~ -xb \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\lambda^2+1} = (1-x)b = a^{\lambda}\cdot (1-x)^{\lambda^2+1}\qquad \Bigm|~ ()^{\frac{1}{\lambda^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = a^{\frac{\lambda}{\lambda^2+1}}\cdot (1-x) \end{eqnarray*}$

Und das ist jetzt eine lineare Gleichung in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die sich in üblicher Weise zu $\begin{eqnarray*} x = \frac{a^{\frac{\lambda}{\lambda^2+1}}}{1+a^{\frac{\lambda}{\lambda^2+1}}} = \frac{1}{a^{-\frac{\lambda}{\lambda^2+1}}+1} \end{eqnarray*}$ lösen lässt.

21.07.2023, 09:48

severiney

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Herzlichen Dank. Das hat weitergeholfen.

21.07.2023, 10:58

HAL 9000

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Ja, ein nur scheinbares Monster, welches sich dann doch überraschend leicht zähmen ließ.

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