Elemente eines Faktorrings bestimmen

23.07.2023, 16:12	hgzbuiolgubtck	Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente eines Faktorrings bestimmen Meine Frage: Ich habe zwar die Lösung der Aufgabe, aber ohne Erklärung und verstehe sie nicht: sei K ein Körper und f $\begin{eqnarray} \in K[T] vom Grad m \geq 0[/ \end{eqnarray}$ Definiere die Ringe $\begin{eqnarray} R1= \mathbb Z/4, R2= \mathbb F_2[T]/(T^2 + T ) und R3 = \mathbb F_2[T]/(T^2 + T + 1) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass die Menge {g ? K[T] \| Grad g < m} ein Repräsentantensystem des Faktorrings von K[T]/(f) ist. Zeigen Sie, dass R1, R2 und R3 je 4 Elemente haben. Bestimmen Sie die Multiplikationstabellen der Ringe R1 und R2. Vielen Dank schonmal im vorraus für jede Hilfe! Meine Ideen: bei $\begin{eqnarray} \mathbb Z /4 \end{eqnarray}$ habe ich kein Problem. Bei Division durch 4 können die Reste 0,1,2 und 3 bleiben. Auch die Multiplikationstabelle ist kein Problem, ganz normal ausrechnen und einfach statt z.B. 9 eine 1 schreiben. in $\begin{eqnarray} \mathbb F _2 [T] \end{eqnarray}$ sind ja alle Polynome mit Koeffizienten 0 oder 1 das heißt in R2 sind die Elemente die wenn man ein Polynom mit Koeffizienten 0 oder 1 durch (T^2 + T) teilt als Rest übrig bleiben Können, wie komme ich darauf? Also 0 und 1 sind mir klar, aber wie komme ich auf alle anderen möglichen Reste? Bei R3 habe ich das gleiche Problem.
23.07.2023, 17:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elemente eines Faktorrings bestimmen Welchen Grad haben die Reste, die bei der Polynomdivision übrig bleiben können?
23.07.2023, 20:22	hgzbuiolgubtck	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elemente eines Faktorrings bestimmen g<m also in diesem Fall 1 oder 0, heißt dass es sind immer alle Polynome (aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 [T] \end{eqnarray}$ )mit einem kleineren Grad in der Menge, oder gibt es da irgendeine Einschränkung? Und bei der Multiplikationstabelle, bin ich mir nicht sicher, $\begin{eqnarray} T \cdot T = T^2 \end{eqnarray}$ ist ja kein Element von [R2 also müsste ich $\begin{eqnarray} T^2+T \end{eqnarray}$ subtrahieren, bis ein Element aus R2 rauskommt, oder? Da bekomme ich aber -T raus, was auch nicht in R2 liegt. Laut Lösung müsste ich hier T rausbekommen, ich weiß aber nicht wie ich die -1 wegbekomme.
23.07.2023, 21:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente von $\begin{align} R_2 \end{align}$ sind Restklassen modulo $\begin{align} T^2+T \end{align}$ . Das mußt du in deiner Notation geeignet markieren, entweder indem du die vollen Restklassen angibst, zum Beispiel $\begin{align} T + \left( T^2+T \right) \end{align}$ oder indem du einen Repräsentanten der Restklasse auswählst und die zugehörige Restklasse zum Beispiel durch Überstreichung notierst, etwa $\begin{align} \overline{T} \end{align}$ Beides bedeutet dasselbe. Die runden Klammern in der ersten Schreibweise sind nicht ungefährlich, da sie das von $\begin{align} T^2+T \end{align}$ erzeugte Hauptideal bezeichnen und nicht etwa bloß reine Rechenklammern auf der Ebene der Polynome sind. Man könnte sie, um Mißverständnissen aus dem Weg zu gehen, durch spitze Klammern ersetzen: $\begin{align} T + \left \langle T^2+T \right \rangle \end{align}$ Nennen wir dieses Element einmal $\begin{align} \alpha \end{align}$ , also $\begin{align} \alpha = \overline{T} = T + \left \langle T^2+T \right \rangle \end{align}$ Rechnungen mit den Restklassen werden auf die entsprechenden Rechnungen mit den Repräsentanten zurückgeführt. Dabei darf jeder Repräsentant einer Restklassen durch jeden anderen Repräsentanten derselben Restklasse ersetzt werden. Um also $\begin{align} \alpha^2 \end{align}$ zu berechnen, kann man diese Rechnung mit dem Repräsentanten $\begin{align} T \end{align}$ durchführen: $\begin{align} \alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = \overline{T} \cdot \overline{T} = \overline{T \cdot T} = \overline{T^2} \end{align}$ Man darf nun zu $\begin{align} T^2 \end{align}$ ein beliebiges Element des Hauptideals $\begin{align} \left \langle T^2+T \right \rangle \end{align}$ addieren, ohne die Restklasse zu ändern. Addieren wir doch das erzeugende Element $\begin{align} \color{red} T^2+T \end{align}$ selbst: $\begin{align} T^2 + \color{red} T^2 + T \color{black} = T \end{align}$ (mit den Koeffizienten modulo 2 rechnen, da $\begin{align} \mathbb{F}_2 \end{align}$ der zugrunde liegende Körper ist) Somit liegen $\begin{align} T^2 \end{align}$ und $\begin{align} T \end{align}$ in derselben Restklasse: $\begin{align} \overline{T^2} = \overline{T} \end{align}$ Nun alles zusammen: $\begin{align} \alpha^2 = \overline{T^2} = \overline{T} = \alpha \end{align}$ Damit hat sich $\begin{align} \alpha \end{align}$ als idempotentes Element von $\begin{align} R_2 \end{align}$ herausgestellt. Wie bereits gesagt, bist du in deiner Rechnung etwas unscharf, da du die Repräsentanten nicht von den Restklassen, in denen sie liegen, unterscheidest. Im übrigen ist $\begin{align} -T = T \end{align}$ , denn plus und minus sind modulo 2 dasselbe: $\begin{align} 1+1=0 \end{align}$ , also $\begin{align} 1 = -1 \end{align}$ . (Und jetzt hast du sicher bemerkt, daß ich selber unscharf bin, denn die hier verwendete $\begin{align} 1 \end{align}$ ist selbst bereits die Restklasse der ganzen Zahlen modulo 2, in der die ganze Zahl 1 liegt, ohne daß ich das extra gekennzeichnet hätte. Aber irgendwann muß man in der Notation großzügig werden, weil das sonst ausufert und nicht mehr handhabbar ist. Zu erkennen, wann man sich diese Schlampigkeit erlauben darf, zeichnet den guten Algebraiker aus.)
23.07.2023, 22:54	hgzbuiolgubtck	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Ich hatte noch ein paar mehr Lücken, als ich gedacht hatte, aber jetzt habe ich das Gefühl es wirklich verstanden zu haben.
23.07.2023, 23:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anderer Weg zum Ziel ist vielleicht der folgende. $\begin{eqnarray} f:f=1 \end{eqnarray}$ Rest 0, d.h. $\begin{eqnarray} f\equiv 0 \end{eqnarray}$ gilt immer in $\begin{eqnarray} K[T] /(f) \end{eqnarray}$ . Also ist in diesem Fall $\begin{eqnarray} T^2 +T\equiv 0 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} T^2 \equiv - T=T \end{eqnarray}$ wegen -1=1 in $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ . Das lässt sich ganz einfach auf das zweite Beispiel übertragen, und allgemein bekommt man so die Restklasse der höchsten Potenz von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f(T) \end{eqnarray}$ geschenkt. Die Restklassen "sind" alle Polynome, deren Grad kleiner als Grad(f) ist. Genauer sind das Vertreter der Restklassen.
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24.07.2023, 08:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die drei Restklassenringe besser zu verstehen darfst du alle drei Gruppentafeln der Addition und alle drei Multiplikationstafeln aufschreiben. Nachdem du verstanden hast, wie das geht, macht das richtig Spaß und geht ganz schnell.

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