Umkehrung bei Vierfeldertafel

24.07.2023, 11:57

Ioscius

Umkehrung bei Vierfeldertafel

Hallo,

in der Medizinstatistik werden häufig Vierfeldertafeln benutzt, um zu ermitteln, wie viel wahrscheinlicher ein bestimmter Risikofaktor (die Exposition mit einer gewissen Sache) ein Risiko macht, an irgendetwas zu erkranken. Dazu wird der Quotient aus der Erkrankungswahrscheinlichkeit unter den Exponierten durch die Erkrankungswahrscheinlichkeit unter den Nichtexponierten geteilt.
Also z.B. 20 von 100 Rauchern geteilt durch 2 von 100 Nichtrauchern entwickeln als Folge einen Husten. RR: 10 (Faktor); relative Risikoerhöhung: (um) 900 %.

Die umgekehrte Frage (wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass ein Hustender ein Raucher ist/war), kann damit nicht beantwortet werden. 20 von 22 durch 80 von 178 ergäbe ein nicht nach dieser Studienlage nicht erlaubtes RR-Ergebnis von 2,02.

Ich könnte nun noch viele weitere angelesene Details wiedergeben, wie dass es eigentlich wenn dann darum geht, von einer Fallkontrollstudie auf das Erkrankungsrisiko bei Exposition geht, sich dabei der Odds Ratio bedient, da diese sich symmetrisch verhält, also in beide Richtungen dasselbe Ergebnis herauskommt (das hat irgendwas mit logistischer Regression zu tun, als nicht-Mathematiker ist mir das aber zu hoch). Um die Odds geht es aber in diesem Thema nicht.
Mich interessiert tatsächlich nur die Frage, wie ich mir das von der Logik-Kausalität vorzustellen habe: Warum sind die Verhältnisse überhaupt so unterschiedlich? Wenn 20 von 100 Rauchern erkranken vs. nur 2 von 100, ist klar, dass es sich um einen Faktor 10 handelt. Wenn ich umgekehrt 20 von 22 erkranken vs. 80 von 178.. da haben wir nur einen Faktor von knapp über 2. 20 von 22, also 90 % der Erkrankten waren Raucher. Liegt der schwächere Faktor daran, dass es so viele nichterkrankte (Raucher) gibt? - Also meine Frage nochmal in einem Satz: Warum ist verhalten sich die beiden Verhältnisse nicht symmetrisch? Meine Vorstellungskraft gerät an ihre Grenzen.
Ich habe angehängt noch ein weiteres Beispiel, wo ich es versucht habe zu zeichnen: Es ist irgendwie logisch, dass der pink straffierte Bereich ungefähr doppelt so groß ist als der blaue, entsprechend bei diesem Beispiel das Risiko bei Exposition/ als Raucher doppelt so groß ist. Aber bei der Umdrehung gäbe es einen Faktor von 4. Warum? Die Verhältnisse bleiben doch irgendwie gleich.
Hat das etwas mit der Ursache-Folge-Ketten zu tun wie: Wenn es regnet, wird die Straße zu 100 Prozent nass, wenn die Straße nass ist, ist ein vorheriger Regen aber nur eine von mehreren Ursachemöglichkeiten?
Oder wie auch in der Mengenlogik: Angenommen, von allen Männern mögen 2 Prozent Hardrock, von allen Frauen 0,1 Prozent, dann erhöht das Mannsein ungemein das Risiko Hardrock zu mögen.. Mannsein erhöht die Wahrscheinlichkeit, es zu mögen, andererseits mögen mitnichten alle Männer Hardrock. Aber Hardrock mögen fast ausschließlich Männer.
Also ich komme da nicht darauf, weil das Verhältnis bleibt doch da auch gleich: Wenn man die in einer Fallkontrollstudie die nicht Hardrock Mögenden abklappern würde, würde man in einem entsprechenden Verhältnis öfter auf Frauen stoßen.
Mir ist klar, dass Wahrscheinlichkeitaussagen nur in eine Richtung getroffen werden können bzw. dass man die dem Studiendesign/der Bobachtung entsprechende Kausalitätsreihenfolge nicht umdrehen kann. Aber dass sich die Verhältnisverhältnisse so unterscheiden, geht nicht in meinen Kopf.. Ich bräuchte irgendeinen Gedanken oder eine Zeichnung.

Die Vierfeldertafel habe ich übernommen aus folgendem bei Youtube hochgeladenem Video: „Relatives Risiko und Odds Ratio in Beobachtungsstudien - Statistik Teil 7 - AMBOSS Auditor"

Danke!

24.07.2023, 12:16

G240723

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RE: Risiken (Wahrsch.) bei einer Vierfeldertafel – die Frage der Umkehrung der Kausalität/ „Symmetri
Du solltest immer die Originalaufgaben mitschicken mit der genauen Fragestellung.
Es geht um das Thema BEDINGTE WKT, Satz von Bayes

24.07.2023, 12:43

Ioscius

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Ich habe keine Originalaufgabe, weil ich mir ja das Beispiel selbst ausgedacht habe. Die Vierfeldertafel ist im verlinkten Video zu finden.

Mir geht es tatsächlich um das Verständnisproblem, warum - wenn ich zum Beispiel 10x so viele Kranke/Erkrankte unter den Exponierten habe - umgedreht bei Betrachtung der Gesundengruppe und Krankengruppe das Risiko nur rund doppelt so groß ist, dass ein Erkrankter Raucher war/der Exposition ausgeliefert ist.

24.07.2023, 13:03

G240723

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Es hängt auch von der konkreten Erkrankungs-WKT ab, wie hoch sie ist in diesem oder jenem Fall.
Schau dir mal Beispiele mit dem Satz von Bayes genauer an und denk auch an das Baumdiagramm,
das ich für anschaulicher halte.
Das könnte dir weiterhelfen

24.07.2023, 15:45

Ioscius

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Zitat:

Original von G240723
Es hängt auch von der konkreten Erkrankungs-WKT ab, wie hoch sie ist in diesem oder jenem Fall.
Schau dir mal Beispiele mit dem Satz von Bayes genauer an und denk auch an das Baumdiagramm,
das ich für anschaulicher halte.
Das könnte dir weiterhelfen

Genau darum geht es mir. Spannend, danke.
Ich habe mir dazu nun einige Videos angeschaut. Wenn ich die "bedingte" Wahrscheinlichkeit berechnen möchte, die der Studie/dem Baumdiagramm entspricht, multipliziere ich ja einfach die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. In diesem Video (ab min 2.00) youtube.com/watch?v=Y7i3zsaYT40&list=PLLTAHuUj-zHicH1h-mTMed1zchxNylvRP wird das Beispiel von Schrauben gemacht, die ok bzw. nicht ok sind (1. Eigenschaft; im Medizinischen entspräche das der Exposition bzw. dem etwas auslösenden Faktor). DANACH werden sie verkauft oder nicht (2. Ereignis; in der Medizin entspräche diesem Ereignis irgendeine Krankheit).
Dort führt der Lehrer ja aus, dass (min 2, sek 33), dass P verkauft wird, unter der Bedingung, dass sie ok ist, gleichzusetzen ist, mit "ok UND verkauft". Also auch genau die chronologische/logische Reihenfolge des Baumdiagramms.

Der umgekehrte Fall soll dann mit diesem Satz von Bayes zu lösen sein.

Da habe ich etwas sehr Interessantes dazugelernt (mein letzter Matheunterricht ist 12 Jahre her), ich muss das vor allem mit folgendem Umstand zusammenbringen: In der Medizinstatistik hieß es immer, das relative Risiko (was einem Quotienten aus zwei Wahrscheinlichkeitsangaben in Prozent entspricht) lässt sich bei einer Fallkontrollstudie nicht ermitteln, also wo gesunde und Kranke gesucht werden, deren Expositionsstatus dann abgefragt wird. Es lasse sich nur die Odds Ratio ermitteln.
Dieser Satz von Bayes bzw. die bedingte Wahrscheinlichkeit (wie in dem Videobeispiel: Nach dem Baumdiagramm wird ZUERST der Ok-Status der Schrauben überprüft, DANACH entscheidet sich das Verkaufsereignis, bzw. die Verkaufswahrscheinlichkeit hängt von dem OK-Status ab) sagt ja aus, dass andersherum kein Problem ist.
Mir brummt jetzt der Kopf, weil ich wohl wieder einiges gelernt habe. Wenn ich wieder einen klaren Kopf habe, nehme ich meine Vierfeldertafel, tue so, als wäre es eine Fallkontrollstudie und wende die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit an.....

24.07.2023, 16:11

Ioscius

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PS: Ganz so einfach ist es wohl doch nicht: Beim Satz von Bayes/der bedingten Wahrscheinlihckeit schaut man sich Wahrscheinlichkeiten an, unter einer zweiten bereits eingetretenen Bedingung.. bei meiner medizinischen Thematik will man Umkehrschlüsse bilden.

28.07.2023, 17:59

klauss

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RE: Umkehrung bei Vierfeldertafel
Kann sein, dass man in der Medizin an einer bestimmten Aussage interessiert ist, weshalb man sich gezielt diesen bestimmten Risikoerhöhungsfaktor anschaut.
Man kann aber gut mit dem Hardrock-Beispiel ein bißchen rumspielen, um zu zeigen, dass diese RR als Kennziffer allein nicht erschöpfend Auskunft gibt.

Mit den Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ : Mann
$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ : mag Hardrock
und der idealisierten Annahme, dass Männer und Frauen je genau die Hälfte der Bevölkerung stellen, bestätigt sich die Aussage

Zitat:

Original von Ioscius
Aber Hardrock mögen fast ausschließlich Männer.

durch $\begin{eqnarray*} P(M|H)=0,952 \end{eqnarray*}$
Die Aussage

Zitat:

Original von Ioscius
Wenn man die in einer Fallkontrollstudie die nicht Hardrock Mögenden abklappern würde, würde man in einem entsprechenden Verhältnis öfter auf Frauen stoßen.

wird allerdings so nicht bestätigt, denn unter den nicht Hardrock Mögenden wären die Frauen nur äußerst knapp mit 50,5 % gegen 49,5 % in der Überzahl.

Ändern wir die Anteile der Hardrock-Mögenden mal üppig so ab, dass 80 % der Männer und 4 % der Frauen Hardrock mögen, also das obige RR gleich bleibt, dann hat die Aussage

Zitat:

Original von Ioscius
Aber Hardrock mögen fast ausschließlich Männer.

mit unveränderter Quote Gültigkeit.
Die Aussage

Zitat:

Original von Ioscius
Wenn man die in einer Fallkontrollstudie die nicht Hardrock Mögenden abklappern würde, würde man in einem entsprechenden Verhältnis öfter auf Frauen stoßen.

gewinnt jetzt aber erst richtig Gestalt, denn unter den nicht Hardrock Mögenden, findet man nun ca. 82,7 % Frauen.
Du kannst es mit den neu erworbenen Kenntnissen aus den Videos selbst durchrechnen.
Frage nur: Dient das Beispiel jetzt zur Aufklärung oder zu weiterer Verwirrung?

03.08.2023, 20:43

Ioscius

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Hallo klauss,

danke für deine Bemühungen, diese Frage zu klären. Das ist hier auch mein letzter Versuch, ich habe jetzt so viele Tage darüber nachgedacht, vielleicht übersteigt das auch mein Vorstellungsvermögen. Ich trage einmal alles zusammen:

Zitat:

Original von Ioscius Wenn man die in einer Fallkontrollstudie die nicht Hardrock Mögenden abklappern würde, würde man in einem entsprechenden Verhältnis öfter auf Frauen stoßen.
klauss: wird allerdings so nicht bestätigt, denn unter den nicht Hardrock Mögenden wären die Frauen nur äußerst knapp mit 50,5 % gegen 49,5 % in der Überzahl.

Diesen Punkt verstehe ich nicht, wie kommst du auf die Prozentzahlen?
Was ich mit dem "verhältnismäßig öfter Frauen stoßen unter den nicht Hardrock Mögenden" bestätigt sich meines Erachtens aber, ich habe Deine Annahmen (Männer und Frauen jeweils 50 %) benutzt, siehe Bildanhang.
Das relative Risiko als Mann, Hardrock zu mögen ist mit RR: 20 fast identisch mit dem ausgerechneten RR, als Hardrock-Mögender ein Mann zu sein (RR 20,34).

Festzustellen habe ich noch:
Das relative Risiko ist ja nichts anderes als der Quotient aus den zwei Wahrscheinlichkeiten, also schon eine interessante Größe.
Des Weiteren wird in der Medizin nur mit bedingten Wahrscheinlichkeiten gearbeitet: Die Spaltensummen sind festgesetzt in der Kohortenstudie (Exponierte vs. Nichtexponierte, oder risikoanfälligere Männer vs. Frauen). Und genau diese Wahrscheinlichkeit ist immer die schon vorausgesetzte Bedingung der dann zu berechnenden Wahrscheinlichkeit. (die Wahrscheinlichkeit, Raucher zu sein, interessiert da ja nicht, dafür entscheidet man sich oder nicht, in der Medizin ist das ja dann gegeben). Also sowohl die Zeilensummen, wie auch die inneren Werte isoliert interessieren nicht.
Eventuell liegt der Unterschied also dieser anderen Voraussetzung in Bezug auf das 1. Merkmal/ das Merkmal der ersten Stufe – jenes, das ich Spaltenmerkmal nenne: In den Matheaufgaben wird immer gesagt, wie wahrscheinlich es bspw. ist, exponiert zu sein oder eben das jeweilige Merkmal zu haben, es wird nicht festgesetzt. So ja bspw. in diesem Thread hier: Bedingte Wahrscheinlichkeit
So ziemlich einen solchen haben hätten wir in diesem medizinischen Video, und da wird wieder die Möglichkeit verneint, es geht thematisch um dasselbe https://youtu.be/bKX90kH3cKg?t=378

Deswegen gibt es folgende Möglichkeiten, warum es in der Medizin anders ist:
1. In der Mathematik ist auch die Wahrscheinlichkeit des anderen Merkmals nicht willkürlich festgelegt oder manipulierbar, deswegen darf in beide Richtungen die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet wird. (wie es ja überall Gang und Gebe ist, vgl. Satz von Bayes, umgekehrtes Baumdiagramm). – Wäre es hier möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Alkohol getrunken hat, festzustellen, wenn die Anzahl der unter Alkoholeinfluss Fahrenden nicht bekannt ist?: https://studyflix.de/statistik/satz-von-bayes-1113

2. Eventuell ist auch die Fragestellung anders: Bei einer Fallkontrollstudie Rückschlüsse darauf zu ziehen, wie hoch das Risiko eines Exponierten ist, ein bestimmtes Ereignis/"FALL" zu erleiden (Verallgemeinerung), ist vielleicht etwas anderes, als nur für die jeweilige Gruppe eine Aussage zu treffen - so wie es oft in den Videos ist, z.B. "Unter der Bedingung, dass es sich um einen Mann handelt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht Fahrrad zu mögen". Warum geht es in diesem Video? Wohl weil die Anzahl an Männer und Frauen vorher nicht festgelegt wurde bzw. die Aussage nur für diese Gruppe von 50 Leuten getroffen werden kann. https://studyflix.de/statistik/stochasti...hangigkeit-1112

Mathematisch ist mir das zu kompliziert; dass die Odds Ratio, also der Quotient aus den beiden Chancen in beide Richtungen identisch ist ( wir machen also aus 4/100 zu 2/100 --> (4/96)/(2/98) = 2,04 wie auch (4/2)/(96/98) = 4,04, bleibt ein spannendes Phänomen. Wenn wir berücksichtigen, dass damit eine Wahrscheinlichkeits-/CHANCENangabe über die umgekehrte Kausalität ausgesagt werden soll, ist das interessant. Es wird wohl so begründet, dass ich diese Odds Ratio aus den Modellparametern einer logistischen Regression ableiten lässt und somit die multivariate Betrachtung von Zusammenhängen ermögliche.
Unter Berücksichtigung der Beschriftung der Vierfeldertafel wie Anhang 1 noch eine Erklärung ( https://www.thieme-connect.com/products/...s-0030-1248432, S. 796 f.): „In Fall-Kontrollstudien kann das Relative Risiko nicht direkt berechnet werden. Das liegt daran, dass das Verhältnis von Fällen zu Kontrollen im Design festgelegt wird, also (a + c)/n vom Untersucher bestimmt wird. Daher ist weder a/(a + b) noch c/(c + d) eine sinnvolle Kennzahl (also keine Inzidenzrate) und eine Berechnung des Relativen Risikos nicht möglich."

Ich habe es probiert mit 4/100 u. 2/100 (RR von 2 vs.. 1,35) und 40/100 u. 20/100 (RR von 2 vs. 1,56), die Unterschiede hauen alle nicht so vom Hocker. Die bei 7.43 gezeigte Vierfeldertafel https://youtu.be/yAXQPQKjBtI?t=463 zeigt einen deutlichen Unterschied von 10 vs. 2,02. Eventuell sieht da jemand, wer es mathematisch durchblickt, wie dieser Unterschied zustandekommt.

PS: Ich erwarte keine riesen Antwort. Wenn jemand sagt, es liegt daran, dass auch die Anzahl der Exponierten nicht festgelegt wurde bzw. nur Aussage für diese spezielle untersuchte Gruppe getroffen wird, dann passt das ja.
Für mich ist das halt etwas Relevantes: Es kann doch nicht sein, dass man in der Mathematik Wahrscheinlichkeiten in beiderlei Richtung berechnen kann, während es die Medizin verbietet und stattdessen nur die Odds/Chancen erlaubt. Das ist doch keine Detailfrage, sondern behandelt die Möglichkeiten der BErechnung grundlegender Kausalitätsketten.
Möglicherweise habe ich es ja entdeckt: In Matheaufgaben wird auch das erste Merkmal als nicht willkürlich festgelegt behandelt und/oder es wird eine Aussage nur über die spezielle Gruppe getroffen/keine Verallgemeinerung.. und jetzt fällt mir noch etwas Drittes ein: Möglicherweise ist die Fragestellung eine andere: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass b unter der Bedingung von a eintritt“/ „wie viel der Personen, die jetzt die Krankheit b haben, haben sich vorhin der Exposition a ausgesetzt“, ist möglicherweise etwas anderes als „Wie viel höher ist das Risiko mit Exposition a, b zu erleiden“. Also dass tatsächlich auch eine solche Kausalität aufgestellt wird.

04.08.2023, 23:27

klauss

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Habe jetzt genauer in Deine angegebenen Videos reingeschaut, um doch noch irgendwas Sinnvolles aus diesem Vergleichsmaß rauszuziehen. Während das relative Risiko (RI) anschaulich plausibel ist, ist mir die Odds Ratio (OR) praktisch noch nicht untergekommen. Vielleicht auch deshalb, weil bei Wikipedia eher zum RI geraten wird und andere Quellen die OR unter bestimmten Bedingungen als Schätzer für den RI bezeichnen, was ja darauf hinweist, dass letzterer eigentlich bevorzugt wäre.

Zitat:

klauss: wird allerdings so nicht bestätigt, denn unter den nicht Hardrock Mögenden wären die Frauen nur äußerst knapp mit 50,5 % gegen 49,5 % in der Überzahl.

Diesen Punkt verstehe ich nicht, wie kommst du auf die Prozentzahlen?

Das ist einfach nur mit Satz von Bayes gerechnet und nicht mit Risiken oder Chancen.

Zitat:

Original von Ioscius
Die bei 7.43 gezeigte Vierfeldertafel https://youtu.be/yAXQPQKjBtI?t=463 zeigt einen deutlichen Unterschied von 10 vs. 2,02. Eventuell sieht da jemand, wer es mathematisch durchblickt, wie dieser Unterschied zustandekommt.

Zumindest rechnerisch kann ich die unterschiedlichen Werte nachweisen, wobei ich die Hilfsgröße $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ für die Gesamtzahl der Probanden mitnehme, um überall Wahrscheinlichkeiten benutzen zu können.

Die beiden Risiken gibt das Video an mit
$\begin{eqnarray*} RI(L|R)=\frac{P(L|R)}{P(L|\overline{R})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} RI(R|L)=\frac{P(R|L)}{P(R|\overline{L})} \end{eqnarray*}$

Für die Chancenverhältnisse kann ich schreiben:
$\begin{eqnarray*} OR(L|R)=\frac{P(R\cap L)\cdot N}{P(R\cap \overline{L})\cdot N} \cdot \frac{P(\overline{R}\cap \overline{L})\cdot N}{P(\overline{R}\cap L)\cdot N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} OR(R|L)=\frac{P(L\cap R)\cdot N}{P(L\cap \overline{R})\cdot N} \cdot \frac{P(\overline{L}\cap \overline{R})\cdot N}{P(\overline{L}\cap R)\cdot N} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann einerseits $\begin{eqnarray*} OR(L|R)=OR(R|L) \end{eqnarray*}$ , anderseits kann man aber auch die Beziehungen herleiten
$\begin{eqnarray*} OR(L|R)=RI(L|R)\cdot \frac{P(\overline{L}|\overline{R})}{P(\overline{L}|R)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} OR(R|L)=RI(R|L)\cdot \frac{P(\overline{R}|\overline{L})}{P(R|\overline{L})} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} OR \end{eqnarray*}$ unterscheiden sich also von den $\begin{eqnarray*} RI \end{eqnarray*}$ um den betreffenden Faktor; kaum ein Wunder, dass dann unterschiedliche Werte rauskommen, wenn ein Maß auf Gleichheit getrimmt ist.
Vielleicht ist es eben vor allem in der Medizin eine Spezialität, die man so hinnehmen muß, wie auch immer die Aussagekraft sein mag.
Ich finde jedenfalls, die Bedeutung der $\begin{eqnarray*} RI \end{eqnarray*}$ -Werte läßt sich auf jeden Fall besser sprachlich beschreiben.

Zitat:

Original von Ioscius
Möglicherweise ist die Fragestellung eine andere: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass b unter der Bedingung von a eintritt“/ „wie viel der Personen, die jetzt die Krankheit b haben, haben sich vorhin der Exposition a ausgesetzt“, ist möglicherweise etwas anderes als „Wie viel höher ist das Risiko mit Exposition a, b zu erleiden“.

Dann sind dann sicher verschiedene Fragestellungen, denn eine beantwortet sich durch eine einfache bedingte Wahrscheinlichkeit, die andere durch einen Quotienten.

21.08.2023, 15:58

Ioscius

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Lieber klauss,

vielen Dank für Deine Antwort! Ich habe vor einigen Tagen bereits einen eigenen Antwortentwurf angefangen, werde ihn dann im September beenden. Wir haben seit 2 Wochen sehr hohe Temperatur, bei mir ist die Beschäftigung mit Mathe bis ca. Mitte September eingestellt.

Liebe Grüße

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