Verkehrt proportionale Elastizität / Isoelastizität |
| 25.07.2023, 16:29 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Verkehrt proportionale Elastizität / Isoelastizität mein mathematisches Grundgefühl sagt mir, dass bei inverser/reziproker Proportionalität das Endergebnis immer gleich bleibt, die Änderung beider Werte zusammen also ausgleichende Wirkung haben. Bspw. wenn 100 Stück zu 5 € verkauft werden, kommt es zum gleichen Gewinn, wie wenn (zwar nur) die Hälfte zum doppelten Preis verkauft wird: 50 Stück x 10 €: 500 €. Bei kleinteiligeren Verhältnisänderungen (s. Bild) scheint das aber nicht so zu sein. Wie kann man sich das erklären? Ich bekomme das nicht zusammen, weil das einen so allgemeingültigen selbstverständlichen Mechanismus zu beschreiben scheint: „Wenn man doppelt so viel verdient, muss man für das ursprüngliche Gehalt nur halb so viel arbeiten“ und so weiter. Liebe Grüße und danke Ioscius |
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| 27.07.2023, 12:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das liegt einfach an der Nichtlinearität der (isoelastischen) Preis-Absatzfunktion [attach]57197[/attach] Zunächst werden im Beispiel 100 ME zu je 5 GE verkauft, der Umsatz beträgt dann 500 GE Der Preis wird jetzt um 20% erhöht, die relative Änderung ist 0,2, der (relative) Änderungsfaktor des Preises ist somit 1,2, Bei gleichem Umsatz sinkt daher die verkaufte Menge um 16 2/3 % (!) auf 83,3 ME, der Änderungsfaktor der Mengen ist 0,833, deren relative Änderung jedoch -0,167 Wir sehen also. dass die relativen Änderungen von Preis und Menge (auch absolut gesehen) NICHT gleich sind, jedoch das Produkt der Änderungsfaktoren beider konstant gleich 1 ist! Das muss auch so sein, denn der Umsatz als Produkt ändert sich hier nicht. mY+ |
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| 31.07.2023, 20:17 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Guten Abend an alle, besonders an Mythos; ich werde jetzt schrittweise die von mir eröffneten Themen abarbeiten. Ich habe so lange gebraucht, weil ich noch Verständnisschwierigkeiten hatte. Ich habe eine Sprachbegabung, bei der Mathematik aber übertrifft mein Interesse mein Talent bei weitem.. Bei Deinem Schaubild ist wohl auch, wie in den Wirtschaftswissenschaften üblich, y- und x-Achse vertauscht, also die abhängige Variable, der interessierende Wert auf der waagrechten Achse. Vergleich Kosten-Nachfrage-Funktion oder bei der Elastizität, wo man dann von unten nach oben sich durchhangelt und der Wert/ das Ergebnis dann durch das Ausschlagen nach links oder rechts angezeigt wird. Die gegebene unabhängige Achse ist auf der senkrechten, bei der geht man schrittweise durch, wie eben ungefähr sonst auch die x-Achse z.B. die Zeit t angibt. Ich muss gestehen, dass mir ein Bezug zum arithm.-degressiven Wachstum nicht ersichtlich ist, wüsste nicht, was das damit zu tun hat. Also ich versuche es einmal: arithm.-degr: eher proportional elastisch, aber da geht es ja nicht um die Erhöhung mit immer demselben Prozentsatz, sondern mit einem absoluten Betrag, . isoelastisch = geom-degr., da geht es auch um richtige Proportionalität / Symmetrie durch Faktoren. Soweit die Vorbemerkungen. Erst einmal muss ich aber feststellen, dass ich zwei Dinge vermengt habe – die proportional elastische und die isoelastische Funktion. Was ich beschrieben habe, war die proportional elastische. https://de.wikipedia.org/wiki/Preiselast...Kategorisierung Auch wenn du, mYthos, die isoelastische Funktion beschrieben hast, hast Du mit dem Verweis auf den Änderungsfaktor den Kern oder Schlüssel meines Problems genannt: Mir war nicht klar, dass ich bei meinem im Anfangspost genannten Beispiel mit dem Halbieren oder Verdoppeln eben keine proportional elastische Veränderung beschrieben habe. Denn beim Halbieren und Verdoppeln wird nicht jeweils um denselben Prozentwert verringert und verdoppelt. Diese Erkenntnis hatte ich im Rahmen meiner Beschäftigung mit der Vierfeldertafel auch gewonnen: Inzidenz von Exponierten: 4/100 ; Inzidenz von Nichtexponierten: 2/200 Relative Risikoerhöhung (Bezugspunkt die Nichtexp.): (4/200)/(2/100) = RR von 2 ; RR - 1, also 2-1 = 1 --> Erhöhung um 100 Prozent. Wenn man aber die beiden Inzidenzangaben umdreht, bspw. von einer das Risiko vermindernden Intervention als Exposition ausgeht: (2/100) / (4/100) = 0,5, 0,5 – 1 = - 0,5 . – 50 % Halbierung des Risikos. Eben dieses von mir beschriebene Beispiel ist eine isoelastische Veränderung. Vermischt habe ich es wohl deshalb, weil ich die Prozentangaben irgendwie für „symmetrischer“ gehalten habe, bin da aber nicht darauf gekommen, weil ich da auch nicht an dieses „erhöhter Grundwert“-Problem gedacht habe: Also dieses Beispiel, wie viel netto kostet ein Produkt von 50,99 €  42,85 €. Ich habe beides für „100“ gehalten. Vllt ist dieses Beispiel auch schief, aber wenn ich das eine um 20 % erhöhe, muss ich den anderen Wert auf 83,33 % abziehen. Der Faktor ist dann derselbe. siehe Anhang, wo ich mir diese mathematische Grundrechenregel/Banalität erschlossen habe. Ich hätte jetzt eigentlich nur noch zwei Anmerkungen und eine Frage 1) Das mit diesen Vierecken sieht interessant aus, ebenso auch dein Verweis zu diesem Thread hier beim quadratischen Wachstum. Zum Thema Änderungsrate werde ich wohl noch eine Frage haben, wo ich mich natürlich über Hilfe freue,. – Dank Deiner Erläuterung zum Änderungsfaktor konnte ich jetzt auf jeden Fall dieses Verständnisproblem lösen! p * x = konstant ; wenn ich um 20 % p erhöhe und x um 20 % senke, ist das eben eher was Additives, nix mit "Proportionalität" im Sinne von Produkten: * 1,2 und /1,2. Wenn ich das jetzt so beschreiben darf, ich hoffe, es verstanden zu haben. 2) Ich finde es faszinierend, welche Funktionen Du da im Schaubild aufgestellt hast. Du hast auch die hier verwendete Schreibweise benutzt: x * p(x) = 500. Jetzt möchte ich fragen: Was ist da was? P klingt nach Preis.. https://studyflix.de/wirtschaft/gewinnfu...osfunktion-1458 E(x) = p(x)*x https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp...ed92bc5e_l3.png . Mir ist hier unklar, warum zweimal die Variable x genannt wird. Es heißt ja: Die Erlösfunktion setzt sich zusammen aus Preis mal Absatzmenge. Warum ist das so eine verschachtelte Funktion, wo zweimal dieselbe Variable x genannt ist? Vielen Dank! |
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| 01.08.2023, 09:42 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Um es nochmal auf den Punkt zu bringen – ich weiß, ich neige dazu, zu ausführlich zu schreiben.. wollte beschreiben, warum ich so lange in dem Denkfehler verharrt bin. Ich konnte mein Verständnisproblem lösen. Die von mir postulierte "Symmetrie", die ja auch zwischen Wert und Kehrwert vorliegt ( 2 -> 1/2; 4 -> 1/4 usw.), liegt eben nicht vor, wenn man einen Wert um 50 % senkt, den anderen um 50 % erhöht, sondern es ist -50 % und + 100 %. Das ist eben so durch die Beschaffenheit des Faktors.. um 100 % senken wäre ja z.B.. 0. Offen bleibt, warum bei der Umsatzfunktion oder der Preis-Absatzfunktion beide Male mit der Variable x gearbeitet wird, bzw. warum es sich um eine verschachtelte Funktion handelt. |
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| 01.08.2023, 15:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du neigst dazu, dich in unbestimmten Einzelheiten zu verlieren. Bleiben wir einmal bei den Basics von Funktionen und der Preis-Kostentheorie. Wie bei diesen (finanzmathematischen) Funktionen üblich, beschreiben diese die Abhängigkeit von zwei Größen untereinander. Oftmals bestehen Auffassungsunterschiede darüber, welche Größe nun als unabhänge Variable (Argument, Urbild) auf der x-Achse und welche Größe die davon abgängige Variable (Funktionswert, Bild) auf der y-Achse zu fungieren hat. Leider sind Suchergebnisse dahingehend nicht immer eindeutig. Bei der Preis-Absatz Funktion (PAF) befinden sich die Stückzahlen (Menge) auf der x-Achse, der zugehörige Preis auf der y-Achse. Diese Funktion wird denn auch Preisfunktion der Nachfrage genannt. Mathematisch daher p(x): p = p(x), der Preis (p) ist eine Funktion der abgesetzten (= nachgefragten) Menge. Beispiel: p(x)=- x/5 + 15 Die Schreibweise p(x) bedeutet, dass p von x abhängig ist, weiter kann zum bequemeren Rechnen statt p(x) auch nur p geschrieben werden: p = - x/5 + 15 [attach]57204[/attach] In der Grafik ist dies die flachere Gerade. Bei geringem Absatz (geringer Nachfrage) ist der Preis hoch, das geht bis zum Höchstpreis (p=15) bei x = 0 und andererseits bis zu einer Sättigungsmenge (x=75) bei p = 0 Der Erlös bzw. Umsatz ist definitionsgemäß gleich der abgesetzten Menge mal Stückpreis, also E(x) = x*p(x) (jetzt wirst du diese Schreibweise wohl besser verstehen); im Beispiel E(x) = (- x/5 + 15)*x = -x²/5 + 15x ______________________________ Die Umkehrfunktion der Preisfunktion der Nachfrage (PAF) ist die Nachfragefunktion n(p) (in Abhängigkeit vom Preis). Hierbei sind - wie in der Grafik bei den Achsen angemerkt - die Achsen vertauscht. Der Preis befindet auf der x-Achse, die Mengeneinheit auf der y Achse (in der Grafik die steilere Gerade). Mathematisch folgt, dass die Umkehrfunktion von p = p(x) als n(p): x = x(p) zu schreiben ist. Zum besseren Verständnis (bei der weiteren Rechnung) werden auch die Bezeichnungen der Variablen vertauscht: x -> p=n(x), x(p) --> x) // n(x): n = n(x) Wieder im gleichen Beispiel: Preis-Absatzfunktion: p(x) = -x/5 + 15; Umkehrfunktion: p(x) --> x, x ->n --> x = - n/5 + 15 Aus letzterem berechnet sich n zu n(x): n = - 5x + 75 (x .. Preis, n .. Nachfrage) Hier ist ersichtlich, dass bei einem Preis von p = 0 die Nachfrage am größten (n = 75) ist, hingegen bei einem (hohen) Preis von p = 15 die Nachfrage praktisch Null ist. Die Graphen er beiden Funktionen sind im Bild ersichtlich. Manchmal verzichtet man auf die Vertauschung der Achsen und liest den Graphen der PAF einfach "verkehrt", dann ist der Graph sowohl für die Absatz- als auch für die Nachfragefunktion relevant. Ergänzend sei bemerkt, dass die gleiche Gesetzmäßigkeit bei der Preisfunktion des Angebotes bzw. deren Umkehrfunktion = Angebotsfunktion gilt. Das ist für die Ermittlung des Marktgleichgewichtes (MGW in den Schnittpunkten von Angebot- und Nachfragefunktion) essentiell. Siehe dazu die untenstehende zweite Grafik (als Ergänzung). [attach]57205[/attach] mY+ |
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| 03.08.2023, 14:21 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lieber Mythos, hab vielen Dank für Deine ausführlichen beiden Beiträge hier, ich habe mir beides ausgedruckt und lange Zeit durchgelesen. Ich habe verstanden, warum die Umsatzfunktion p(x) x p heißt: nämlich weil standardmäßig der Preis als abhängiger Funktionswert der Absatzmenge x definiert ist. Ich habe selbst geübt, die Umkehrfunktion der linear aussehenden PAF x/5+15 zu bilden, was geklappt hat. Die isoelastische Funktion von deinem ersten Post habe ich ebenso umgeformt zur Nachfragefunktion in Abhängigkeit vom Preis, die mit der Preisfunktion identisch ist: 500 / x (ich mache jetzt keine Assoziation zum Formeldreieck, aber naja.. 2 Faktoren eben.. bei der isoleastischen Funktion ging das ganz schnell: Umsatzgleichung x x p(x) = 500 --> p(x) durch 500 teilen, fertig.
Ich weiß, das ist auch ein großes Problem. Ich möchte nur anhand zwei Beispielen verdeutlichen, warum ich deren Verständnis dann doch für essentiell halte und nicht loslassen kann: 1. Ohne ein mathematisches Grundverständnis davon zu haben, warum bspw. der Quotient von 2/100 und 4/100 0,5 ist und umgekehrt von 4/100 und 2/100 2 ist, bleiben medizinische Messzahlen wie die relat. Risikoreduktion von 50 % und umgekehrt die relative Risikoerhöhung von 100 % bloße Zahlen, die ich nicht einordnen kann. So habe ich ein Gespür. 2. Im Rahmen volkswirtschaftlicher Vorlesungen ging es bei mir nun meistens um die Elastizität, wo die y-Achse eigentlich den Einflusswert und die x-Achse den Ergebniswert anzeigt. Das mag dem von dir genannten Umstand geschuldet sein, dass oft unklar ist, welche Größe die beeinflussendeund beeinflussbare ist. Die Elastizität gibt aber eindeutig an, wie sehr die Nachfrage (u. das Angebot) auf Preisänderungen reagierten. Wenn man sich das klar macht, ist einem sofort verständlich, dass eine absolut unelastische Funktion senkrecht sein muss usw. --> da reißt nichts nach links oder rechts aus, so wie man es sonst nach unten oder oben gewöhnt ist. |
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| 03.08.2023, 23:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die isoelastische Fuktion hat die Eigenschaft, dass das Vertauschen der beiden Variablen die Funktion nicht ändert. Die Funktion und deren Umkehrfunktion besitzen demgemäß auch den gleichen Graphen. Die Elastizität dieser Funktion ist durchgehend -1, deswegen heißt sie ja auch isoelastisch. Zum Punkt 2. Das dort beschriebene Verhalten betrifft die Umkehrfunktion der Preisabsatzfunktion, also die Nachfragefunktion. Deren Elastizität (--> Preiselastizität der Nachfrage) ist gleich dem Quotienten der relativen Änderung der Nachfrage durch die relative Änderung des Preises.
Das ist unklar und dürfte auch so nicht richtig sein. Eher gilt das Gegenteil, denn wie die Grafik zeigt, kann die Funktion gerade im steilen Bereich eine hohe Elastizität besitzen. [attach]57221[/attach] mY+ |
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| 04.08.2023, 11:53 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke für Deine Antwort! Mir ist auch inzwischen klar, dass bei der isoelastischen Funktion immer derselbe Umsatz erzielt wird. Mir ist nur noch aufgefallen, dass wir aus der Umsatzgleichung die PAF gebildet haben --> . Ich möchte mich nicht wieder in Einzelheiten verlieren, aber kann man mir noch kurz erklären, warum wir das bei der linearen Funktion nicht gemacht haben? Dort hast du E (Umsatz) mit -x/5 + 15 * x bezeichnet, die Umkehrfunktion hast du aber gebildet aus -n/5 + 15. Das ist ja eigentlich auch richtig.. Ich habe darüber ernsthaft ca. 2 Stunden nachgedacht, verheddere mich aber immer wieder.
Ich glaube, wir reden aneinander vorbei. Der Überschriftsatz in https://de.wikipedia.org/wiki/Preiselastizit%C3%A4t sagt ja aus, dass die Änderung der Nachfrage im Anschluss an eine Preisänderung gemessen wird. Es wäre also tatsächlich die Nachfragefunktion, die Nachfrage also der zu ermittelnde Funktionswert. Wie man aber in den Schaubildern sieht ( https://de.wikipedia.org/wiki/Preiselast...Kategorisierung ), ist die von mir angesprochene "vollkommen unelastische" (ich nannte sie "absolut unelastisch") Funktionskurve tatsächlich eine senkrechte Kurve. Änderung des Preises (Funktion, interessierender zu ermittelnder Wert) durch den Preis (Argument, beeinflussbar und verändernd). Das Missverständnis rührt einfach daher, dass die alte/"falsche" Beschriftung der Achsen beibehalten wurde ("es tritt keine Reaktion der Nachfrage auf Preisveränderungen ein" bei senkrechtem Graph.). Dein Schaubild gefällt mir gut, danke! Ioscius |
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| 04.08.2023, 12:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ganz klar! Kein Wunder, richtig! Die Schaubilder in der Kategorisierung wurden für die Preisabsatzfunktion gezeichnet, denn dort befindet sich die Menge auf der x-Achse und NICHT der Preis! Daher verhält es sich dort für die Elastizitäten gerade umgekehrt! ______________
Eben nicht. Es ist die PAF p(x), welche gegeben war, da ist nichts mehr umzurechnen, das ist NICHT der Umsatz! Der Umsatz E(x) entsteht erst, wenn mal p(x) mit x multipliziert. mY+ |
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| 04.08.2023, 13:45 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Haben wir das in deiner obersten Grafik zur Veranschaulichung (isoelastische PAF) nicht?: Absatzmenge mal Preis ergibt 500 als festen Umsatz. Und daraus, so sieht es zumindest aus, wurde die PAF gebildet, indem p(x) durch 500 geteilt wurde. Also nur bei dieser isoelastischen Funktion aufgrund der beiden Gleichungen sieht es so aus.. |
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| 04.08.2023, 14:06 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, genau, hier ist der Umsatz eine Konstante, nämlich 500. Und ja, die PAF ist p = 500/x, wenn man diese mit x multipliziert, ensteht wieder der Umsatz 500. Aber in dem anderen - nicht isoelastischen - Beispiel war es anders. Dort habe ich p(x) = -x/5 + 15 bereits explizit* gehabt und den Umsatz als E(x) = (-x/5 + 15)*x berechnet. (*) Bei der linearen Funktion p(x) war demnach nichts mehr umzurechnen. In deinem Post hast du die - überaus wichtige - Klammer (sträflicherweise 
) weggelassen, was dann einen völlig anderen Sinn ergibt!mY+ |
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| 04.08.2023, 14:16 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, und deswegen sah es eben so aus, als ob die PAF direkt aus der Umsatzgleichung gebildet werden kann. Das mit der fehlenden Klammer leuchtet mir auch ein, so ist das eben als Anfänger 
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| 04.08.2023, 14:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
An sich kann man das ja immer, wenn man die Umsatzfunktion (Erlösfunktion) gegeben hat, diese wird dann einfach durch x dividiert. Nur kommt das nicht so oft vor. Analog wird in der Kostenrechnung, wenn die variablen oder die totalen Kosten gegeben sind, die zugehörige Stückkostenfunktion (Durchschnittskosten) mittels Division durch x ermittelt. mY+ |
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| 08.08.2023, 15:56 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe das Wesen der isoelastischen Funktion verstanden: Die Änderungsfaktoren ergeben multipliziert immer 1, außerdem ist der Umsatz immer gleich groß (was Du auch mit den Steigungsdreiecken andeuten wolltest). Falls man keine Funktion hat, geht es ganz einfach: Der Kehrwert des einen/bekannten Änderungsfaktors ergibt den zweiten Änderungsfaktor, alternativ teilt man, nachdem man z.B. den Preis mit dem bekannten Änderungsfaktor multipliziert hat, den Umsatz durch den bekannten Änderungsfaktor (also Ausbringungsmenge x ÄF1 und Preis / ÄF1). Ich möchte es nicht wieder zu kompliziert machen, bleibe aber dabei: Sowohl mein Gefühl, als auch eine Erklärung zu (Anti-)proportionalität ( https://studyflix.de/mathematik/antiprop...-zuordnung-3254) sagen mir, dass der Begriff der Proportionalität bei der isoelastischen Funktion besser aufgehoben wäre. Nun ja, also bei der umgekehrt „proportional elastischen“ Funktion ergibt der Quotientja auch immer -1, weil eben immer dieselben |Beträge| miteinander dividiert werden (z.B. 10 % / - 10 % ). Meine Frage ist: Warum heißt es in https://de.wikipedia.org/wiki/Preiselast...Kategorisierung : „Der Fall der Einheitselastizität ist nicht zu verwechseln mit dem der iso-elasticity: Im ersten Fall ist die Elastizität an einem Punkt der Nachfrage gleich eins. Im zweiten Fall ist die Preiselastizität der Nachfrage konstant, d. h. für jeden Preis gleich groß.“ Warum soll die Elastizität nur in einem Punkt 1 sein, wir haben doch auch einen Graph/ eine Funktionskurve? Ich verstehe diesen Unterscheidungssatz nicht. Danach sollte das Thema abgehakt sein.
Liebe Grüße |
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| 09.08.2023, 00:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die implizite Funktion x*y = c kann unmittelbar explizit gemacht werden, so ist y = c/x. Spätestens jetzt erkennt man, dass die Größen y und x in einem verkehrt (indirekt, umgekehrt) proportionalen Verhältnis zueinander stehen - und sonst nichts anderes. Der Verlauf der Elastizität ist eine andere Geschichte.
Mit diesem unverständlichen Statement kann ich leider nichts anfangen .... EDIT: Ok, jetzt verstehe ich es. Ja, es stimmt. Wie es später ausführlich geschrieben wurde (!), kann man dies bei relativ kleinen relativen Änderungen machen, also den Quotienten bilden: 0,1 / -0.1 = -1. Allerdings ist dies eher bei kleineren Prozentsätzen als mit 10% richtig, weil man sich dann näher an der Punktelastizität befindet.
Außer bei isoelastischen Funktionen der Form , bei denen die Elastizität in jedem Punkt der Kurve den gleichen Wert hat, ändert sich bei jeder anderen Funktion die Elastizität in einem Intervall fortwährend, wenn die x-Werte das Intervall durchlaufen. Daher wird es nur einen Punkt geben, in welchem der Betrag der Elastizität gerade gleich 1 ist. ------------ Beispiel: [attach]57234[/attach] Die Grafik zeigt eine lineare Funktion (grün) im Intervall [0; 8) und den Verlauf der zugehörigen Elastizität (blau). Wir sehen, dass der Betrag der Elastizität jeden Wert zwischen 0 und Unendlich annehmen kann. Nur im Punkt (4,3) ist dieser gleich 1 (die Elastizität selbst ist dort gleich -1). mY+ |
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| 10.08.2023, 19:05 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das Problem ist/war wohl, dass ich bei den beiden in einem umgekehrt proportionalen Verhältnis zueinander stehenden Größen jeweils an die beiden prozentualen Änderungsgrößen gedacht habe — bei umgek. Prop. ist ja das Produkt beider Größen immer dasselbe. Also eine Verdoppelung (mal 2) hätte eine Halbierung (der Kehrwert von 2 —> 1/2) zur Folge( deswegen bin ich ja auf die Isoelasztizität gekommen). (Wenn es um die bloßen Beträge ginge, wären die beiden prozentualen Änderungen tatsächlich in einem direkt proportionalen Verhältnis.) Strapaziere ich zu sehr deine Nerven, wenn ich dich bitte, an einem konkreten Beispiel der umgekehrt proportional elastische Nachfrage mir diesen Proportionalitätsfaktor zu zeigen? Die Funktion bringt mir da nichts, zumal ja auch gesagt wurde, proportional bloß in einem bestimmten Punkt. Also z.B. 100 Umsätze bei 5 €, 90 nur noch Umsätze bei Preiserhöhung auf 5,50 €. Wen 0,9 der Proportionalitätsfaktor ist, was ich bezweifle, denn es gibt da immer Schwankungen.. eben auch weil weniger Umsatz.. und es nicht an den Veränderungen gibt. Ich wünsche mir einfach nur, die Proportionalität zu verstehen. Warum dieser Begriff verwendet wird. Ich hoffe, es da nicht allzu sehr kompliziert gemacht zu haben, aber die Verständnisschwierigkeiten rührten daher, dass wir uns im Unterricht immer auf die beiden prozentualen Änderungsraten fokussiert haben, ohne uns um die Funktion als solche zu kümmern. Denn das zweite Problem…
…ist ganz ähnlicher Natur: entsprechend didaktisch unperfekt/problematisch waren ja auch die Kategorisierungen der Elastizität in Wikipedia anhand der Schaubilder: es suggeriert, dass die Elastizität im Verlauf der Kurve konstant ist, wie die Steigung. Wegen der prozentuellen Angaben ist das nicht der Fall, und es erschließt sich mir jetzt, dass zu Beginn einer jeden linearen Kurve, also bei höheren Preiswerten (wenn Preis auf senkrechter Achse), die Elastizität größer ist. Im Unterricht mussten wir auch die Elastizität anhand der Steigung einordnen – soweit klar, warum ich es nicht verstanden habe. So konnte ich mir auch überhaupt nicht erklären, was eine Elastizität bei einem bestimmten x-Wert bedeuten soll, schließlich hatten wir immer nur Fragestellungen wie: man hat den Preis von 1 auf 2 € erhöht, darauf sank der Umsatz von 50 auf 40 Einheiten“. Also ist dass der x-Wert wohl der ausgangswert ist? angenommen, wie sind bei deinem Punkt 4,3 (dein Schaubild), so kommt immer Elastizität Betrag 1 raus, egal um wie viel ich den Preis senke. Wenn ich bei deinem Preis 7 (leider keine Kurve mit geraden Werten) eine Preissenkung vornehme, kann die Elastizität schwächer oder stärker werden, ob ich beispielsweise auf Preis 5 Euro oder 2 Euro gehe? — Also die Frage ist: Wenn ich richtig liege, dass der x-Wert den Ausgangswert angibt, von dem man ausgeht, entscheidet auch das Ausmaß der Preissenkung/also den prozentuelle Veränderung, wie stark die Elastizität ist? Vom Beispiel mit der proportionalen Elastizität müsste ich sagen: nein (weil da immer e = 1, ob ich nun von 5 € auf 5,05 € oder 5,50 € gehe) Liebe Grüße Ioscius PS: Nochmals zusammengefasst meine Vermutung: Die prozentuale Veränderungsrate als Betrag des ersten Wertes, steigt in dem Maße diesen ersten Wert (hinzuaddiert), wie dieselbe prozentuale Veränderungsrate als Betrag den zweiten Wert mindert (Subtraktion). +10 % = -10 %. Ist das die Proportionalität? |
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| 12.08.2023, 18:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du verwendest hier oft den Begriff Proportionalitätsfaktor. Diesen solltest du aber genau kennen bzw. einordnen, ehe du ihn im Bereich der Elastizität verwendest. Bei einem indirekten bzw. verkehrt proportionalen Verhältnis können zwei Größen nicht direkt ins Verhältnis gesetzt werden, wie es bei der direkten Proportionalität der Fall ist. Vielmehr muss von einer Größe der Kehrwert genommen werden und die Verhältnisgleichung lautet dann bei zwei Größen x und y y : 1/x = c : 1 Der Proportionalitätsfaktor ist dabei die Konstante c (c : 1 = c) Ausmultipliziert (Produkt der Außenglieder ist gleich dem der Innenglieder) lautet die Verhältnisgleichung y * 1 = 1/x * c --> y = c/x bzw. x*y = c Ein Beispiel ist das Verhältnis der Höhen zu den zugehörigen Seiten eines Dreieckes. Da das Produkt einer Seite mit der Höhe immer konstant gleich der dem doppelten Flächeninhalt ist, gilt z.B. a * h_a = b * h_b (= 2A), daraus berechnet sich die Verhältnisgleichung (das rechte Verhältnis wurde durch (a*b) gekürzt (dividiert)) Die Höhen verhalten sich also verkehrt proportional zu den Seiten. Zwischen den Höhen und den Seiten eines Dreieckes besteht ein indirektes Verhältnis. ___________________ Genau so ist es bei der Nachfragefunktion x * f(x) = c (const), wobei der Umsatz das konstante Produkt aus Preis x und Menge f(x) darstellt. Je höher der Preis ist, desto geringer ist die nachgefragte Menge und umgekehrt. Preis und Nachfrage stehen also in einem indirekten Verhältnis zueinander. Was nun den Proportionalitätsfaktor betrifft, ist dieser konstant gleich c, also der gleichbleibende Umsatz. Denn umgeschrieben lautet die Nachfragefunktion f(x) = c / x. __________________________ Betrachten wir nun eine etwas allgemeinere Funktion y = f(x) und dort die relativen Änderungen auf den beiden Achsen (z. B. x als Preis und f(x) als nachgefragte Menge). Diese kann man wieder in ein Verhältnis setzen und zwar als: Relative Änderung auf der y-Achse in Abhängigkeit von der relative Änderung auf der x-Achse: Dieses Verhältnis ist ein Doppelverhältnis, also ein Verhältnis zweier Verhältnisse, denn die relativen Änderungen stellen für sich allein auch schon ein Verhältnis dar. Das Doppelverhältnis wird sinngemäß auch als Doppelbruch geschrieben: und als Elastizität der Funktion an einer Stelle x bezeichnet. Die letzte Gleichung ein wenig umgeschrieben ergibt nun Damit wird ausgesagt, dass die relativen Änderungen auf der x- und f(x)-Achse zueinander direkt proportional sind und zwar mit dem Proportionalitätsfaktor e_f. Man bekommt also die relative Änderung des Funktionswertes, indem die relative Änderung des Argumentes (x-Wertes) mit der Elastizität multipliziert wird. [attach]57246[/attach] Angenommen, bei der in der Grafik dargestellten linearen Nachfragefunktion ist die Elastizit bei x = 6 gleich -3, bedeutet dies, dass, wenn sich der Preis nahe bei 6 um 5 % erhöht, die Nachfrage um 15% zurückgeht (0.05 * (-3) = -0,15)!! An der Stelle 6 ist die Funktion sehr elastisch, eine relativ kleine Preiserhöhung hat eine bereits signifikante (3-fache) Verringerung der Nachfrage zur Folge. An anderen Stellen der Funktion kann es auch ganz anders aussehen. Sehen wir uns die Stelle x = 4 an. Dort lautet die Elastizität -1. Das bedeutet, wird der Preis bei x = 4 um 5% erhöht, sinkt dabei die Nachfrage um ebenfalls 5%. Und sinkt dort der Preis um 5%, erhöht sich die Nachfrage dann um 5% Deshalb: Man spricht von Punktelastizität, die an verschiedenen Stellen der Funktion auch grundverschieden ausfallen kann (!). Zusammenfassung bisher: Die Elastizität ist KEINE Steigung, sie ist als Quotient der relativen Änderungen auf den Achsen dimensionslos und kann (* 100) auch in Prozent angegeben werden. Sie ist ein Proportionalitätsfaktor und gibt das Verhältnis der relativen Änderung des Funktionswertes zu der relativen Änderung des Argumentes an. Zum Schluss sehen wir uns noch die isoelastische Funktion an, wie sie bereits am Anfang dieses Threads ein Thema war.
Sei x * f(x) = 500 bzw. f(x) = 500/x gegeben. Wie bereits hinreichend erläutert wurde, ist diese Funktion isoelastisch mit der Elastizität -1 Hier ist - im Gegensatz zu der vorher behandeltnen linearen Funktion - die Elastizität in JEDEM Punkt konstant (gleich -1). Es ist also egal, von welchem Preis x man ausgeht, immer kann mit der Elastizität -1 gerechnet werden. Es liegt ein indirektes (verkehrt proportionales) Verhältnis vor, mit dem PropFaktor 500, denn f(x) : 1 = 500 : x --> f(x) : 1 = 500 * (1 : x) , das ist gleichbedeutend mit f(x) * x = 500 Wegen der Isoelastizität (-1) gilt jetzt: Wird der Preis von x=20 um 10% auf x=22 erhöht, so müsste die Nachfrage von f(20)=25 um ebenfalls 10% sinken, das wäre dann auf 22,5. Die Probe mittels direktem Einsetzen ergibt 500 / 22 = 22,73. Weshalb die Ungenauigkeit? Wie schon gesagt, es handelt sich immer um die Punktelastizität, aber wir bewegen uns auf einem Bogen von x = 20 auf x = 22. Daher sind die 22,73 ein Mittelwert mit einem etwas anderen Wert, nämlich von der Bogenelastizität. Deshalb soll man sich von einem Punkt nie allzuweit entfernen, je weiter man bei der Änderung vom Anfangspunkt weggeht, desto ungenauer wird die Sache. Mit 1% Veränderung ist man in der Praxis auf einer guten Seite. Also 1% Veränderung des Preises (von einem bestimmten Wert ausgehend*) hat auch 1% Änderung der Nachfrage zur Folge. ( (*) Der Startwert ist immer der x-Wert, der bei "VON" steht) Wieder eine Probe: Der Preis wird um 1% von 20 auf 20,2 erhöht. Die Nachfrage muss dann um 1% von 25 auf 24,75 sinken. Eingesetzt ist 500/20,2 = 24,752, also gibt es eine gute Übereinstimmung in 2 Dezimalstellen! Letztendlich: Die Proportionalität, die du ansprichst, ist tatsächlich die, welche mit der Elastizität ausgedrückt wird, hier also -1. In diesem Sinne ist es das Verhältinis von +10% zu -10% (+0,1 zu -0,1), dieses ist -1, ja, so ist es! Wie schon vordem gesehen, ist bei e = -3 dieses Verhältnis +1% zu -3% (+0,01 zu -0,03), also auch der Propfaktor, den du gesucht hast! Nochmals: Die relativen Änderungen sollen nicht zu groß sein, vielleicht maximal 5%, ansonsten bekommt man anstatt der exakten Punktelastizität nur noch die (mittlere) Elastizizät, die sogenannte Bogenelastizität (auch mit Midpoint Method - Mittelpunktmethode* berechenbar). (*) Elastizität2 mY+ |
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| 12.08.2023, 19:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Frage nach der Gesamtheit isoelastischer Funktionen In diesem Zusammenhang hat sich als Nebenprodukt dieses Threads auch die Frage nach der Gesamtheit aller isoelastischen Funktionen ergeben. Dazu ist die Differentialgleichung zu lösen: ================ Damit sind z. B. die isoelastische Nachfragefunktion f(x) = c/x, die Wurzelfunktion f(x) = c * x^0.5 sowie auch die lineare Funktion f(x) = c * x abgedeckt. mY+ |
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| 21.08.2023, 16:00 | Ioscius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lieber mYthos, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Im September, wenn die hohen Temperaturen vorüber sind, werde ich meine Beschäftigung mit Mathe wiederaufnehmen. Sollte ich eine Nachfrage haben, würde ich mich melden. Ansonsten nochmals: Vielen Dank! Ioscius |
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