Algebraischer Hintergrund des Diskriminantenausdrucks |
| 27.07.2023, 13:59 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Algebraischer Hintergrund des Diskriminantenausdrucks Ich beschäftige mich gerade tiefer mit den Zahlenverhältnissen in quadratischen Funktionen. Ich habe den Eindruck, dass der algebraische Zusammenhang in der Diskriminantenformel die Quintessenz für das Verständnis dieser bildet. Meine Frage: Wie kommt der Diskriminantenausdruck b^2-4ac zustande? Hat jemand einen Hinweis, wie ich weiter vordringen kann? Meine Ideen: Was mir bisher bewusst ist: Das quadratische Glied der Funktion wird durch das lineare und absolute in seiner Entwicklung mit Funktionsverlauf "gebremst", bzw. "beschleunigt". Die quadratische Funktion ist quasi ein Zusammenspiel der Glieder, welche sich wechselseitig bedingen. Die Vorfaktoren a,b und c bestimmen die Gewichtung des Einflusses der einzelnen Glieder auf den Funktionsverlauf. Der Vorfaktor b bestimmt den Einfuss des linearen Gliedes, wodurch je nach Vorzeichen und Größe des Vorfaktors der lineare Term entgegen dem Verlauf des quadratischen wirkt. Daher auch die Verschiebung des Funktionsgraph entgegen des Vorzeichens. Je weiter die Abszisse von 0 entfernt ist, umso geringer der Einfluss des linearen Gliedes, umso näher sie ist, desto größer. Mit Veränderung des Vorfaktors b bewegt sich die Parabel auf der Linie einer "umgedrehten" Parabel. Was ich bisher begriffen habe: Die Diskriminante gibt die Breite der Parabel auf Höhe der Abszissenachse an. Mit anderen Worten die Distanz zwischen den Nullstellen. Was ich vermute: Die Quadratur von b und der Vorfaktor 4 für das Produkt ac Gewichten das allgemeine Verhältnis zwischen den quadratischen, linearen und absoluten Glied der quadratischen Funktion. Es macht einfach nicht klick. |
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| 27.07.2023, 14:15 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Quadratische Ergänzung Wikipedia. Die Faktoren verschieben effektiv nur die Parabel, so wie du es lineares und konstantes Glied nennst. An der Scheitelpunktformel sieht man warum genau der Ausdruck interessant ist. |
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| 30.07.2023, 20:14 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke ich bin im Verständnis ein kleines Stück weiter gekommen. Jedoch will mir immer noch nicht so ganz einleuchten, warum b quadriert wird und vor a und c ausgerechnet der Faktor 4 gesetzt wird. Was ich erkannt habe und was einleuchtend ist: Wenn der Fall besteht, dass eine doppelte reelle Nullstelle existiert, dann ist die Koeffizientenkombination so, dass 4ac b^2 ausgleicht. Die Distanz "zwischen" den Nullstellen ist 0, somit auch die Diskriminante. Jedoch gelingt mir das algebraische nachvollziehen der anderen Fälle nicht. Warum genau 4 und das Quadrat von b? |
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| 30.07.2023, 20:39 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mathematik versteht man leichter, wenn man verschiedene mathematische Gebiete kennt. In der Geometrie treten Parabeln als Kegelschnitte auf, damit hatten schon die alten Griechen vor 2500 Jahren viel Spaß. In der analytischen Geometrie von Descartes erkennt man Parabeln als Funktionen, die durch quadratische Polynome dargestellt werden. Um die Nullstellen dieser Funktionen zu berechnen, benutzt man Formeln aus der Algebra, da taucht dann die Diskriminante in der bekannten Lösungsformel auf. Es ist nicht nötig, darin große Geheimnisse zu suchen, bequemer ist ganz sicher, Dinge so hinzunehmen, wie sie sind. Weil man Dinge von vielen Seiten aus betrachten kann, sehen sie immer wieder anders aus, und je mehr Seiten man betrachtet, desto mehr lernt man daraus. Von einem Standpunkt aus (in deinem Beispiel quadratische Funktionen) kann man nicht alles erklären und verstehen. |
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| 30.07.2023, 21:19 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bequem ist langweilig. Formeln auswendig zu lernen macht keinen Spass. Welchen Verständnisschritt würdest du mir denn empfehlen zu gehen? Es muss ja schliesslich ein exakter Zusammenhang zwischen den Zahlen bestehen. Sind solch tiefe analytische Betrachtungen Stoff, der erst im Mathematikstudium vermittelt wird? |
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| 31.07.2023, 06:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schwer nachvollziehbar, warum diese Fragen noch offen sind, wenn du dir die Rechnungen zur quadratischen Ergänzung WIRKLICH angeschaut hast - denn die werden dort ja klar beantwortet. Das einzige, was im oben verlinkten Wiki-Beitrag nicht ausgeführt wird ist, dass man auch auf einen gemeinsamen Bruchstrich bringen kann mit Ergebnis .
Das ist falsch: Mit sind im Fall die beiden Nullstellen der quadratischen Funktion bei zu finden, damit ist der Abstand dieser beiden Nullstellen voneinander mitnichten gleich , sondern stattdessen . |
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| 31.07.2023, 08:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Jotta Du hast recht, wenn du nach dem algebraischen Hintergrund der Diskriminante fragst, denn Diskriminante ist ein Begriff aus der Algebra (Ideale von Ringen) und der algebraischen Zahlentheorie (Körpererweiterungen). Mathematische Theorien kann man nicht auswendig lernen, man muss sie studieren. Wenn du einen ersten Eindruck über den Begriff Diskriminante bekommen willst, kannst du bei Wikipedia nachlesen, dort sind viele Begriffe gut erklärt. Diskriminanten analytisch bei Funktionen oder geometrisch bei Kegelschnitten zu suchen halte ich nicht für einen geeigneten Weg, aber du darfst gerne alles machen und denken was du willst, die Mathematik ist eine feine Sache und eine freie Wissenschaft. |
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| 31.07.2023, 15:09 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Rückmeldungen. Beide haben mir bereits etwas geholfen. Ich konnte anhand der pq-Formel und ihrer Terme ein paar geometrische Zusammenhänge erkennen. p/2 zeigt die horizontale Differenz zwischen dem Koordinatenursprung und der x-Koordinate des Scheitelpunktes an. Fügt man rechts-/linksseitig diese Differenz nocheinmal hinzu, erhält man p. P^2 zieht ein Quadrat innerhalb der Parabel, welches vertikal exakt bis auf Höhe von q reicht. Die Diskriminante unter der Wurzel zieht ein Quadrat mit der Seitenlänge x1 delta x2 und es reicht vertikal bis zum Scheitelpunkt. Die Wurzel der Diskriminante fügt dementsprechend beidseitig von p die Differenz zwischen x1/2 und p/2 an. Sind meine Beobachtungen korrekt? |
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| 01.08.2023, 06:10 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Beobachtung geometrischer Zusammenhänge" gehört nach meiner Meinung nicht zur Mathematik oder zu einem Teilgebiet der Mathematik. Was in der Mathematik vermutet wird, muss bewiesen werden. Was du beweisen kannst, ist dein Verdienst, das kann und will dir niemand abnehmen. (Vielleicht bin ich zu streng, und man macht so etwas in der Schule...? Wenn das so ist, dann wünsche ich dir viel Erfolg dabei.) |
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| 01.08.2023, 09:37 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohne das Beobachten und Erkennen von geometrischen Zusammenhängen hätte Euklid keine Beweise erbracht. Also ist das Beobachten und Erkennen Teil der Abstraktion. Warum ist es dann kein Teil der Mathematik? Mathematik ist doch gerade das Suchen von Beziehungen zwischen Objekten. Dem Gedanke folgend bin ich gerade in meinem Prozess der Begriffsbildung, dem Beweis vorausgehend. Wir haben in der Schule keine mathematischen Beweise thematisiert. Stehe gerade vor dem Beginn des Physikstudiums, nächsten Monat beginnt der Vorkurs. |
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| 01.08.2023, 11:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima, Physik ist ein sehr schönes Studienfach, und ich wünsche dir viel Freude und Erfolg dabei. Erfahrungsgemäß haben viele Studienanfänger der naturwissenschaftlichen Fächer Probleme mit der Mathematik. Meiner Meinung nach liegt das genau daran, dass fast alle Menschen auch heute noch mit falschen Vorstellungen an die Mathematik herangehen, wie du sie hier beispielhaft vertrittst. Deshalb mein guter Rat, höre sehr aufmerksam auf deine Professoren und Tutoren und gewöhne dich so schnell wie möglich daran, dass du nichts weißt und alles anders ist als dir bisher beigebracht wurde und du geglaubt hast. Ohne Mathematik ist Physik heute nicht mehr möglich, und ohne Anschauung ist Naturwissenschaft schlecht vorstellbar, aber für die Mathematik ist Anschauung nicht immer förderlich. Euklid trug maßgeblich zum Beginn der modernen Mathematik bei, weil er mit Definition, Satz, Beweis das moderne Denken der Mathematik mitbegründet hat. Seine Elemente der Geometrie nehme ich auch heute noch gerne in die Hand und staune über seine Weisheit. ("Ein Punkt hat keine Ausdehnung." kann man nicht der Anschauung entnehmen, denn man sieht ihn per Definition nicht.) Ich habe u.a. eine sehr schöne ledergebundene Ausgabe der ersten sechs Bücher Euklids von John Playfair aus dem Jahre 1828, als man noch dachte, die euklidische sei die einzig mögliche Geometrie und sei mit der natürlichen Geometrie unseres Universums in gottgefälliger Übereinstimmung, könnte also durch die Anschauung begründet werden - gründlicher hätten sich die Philosophen über 2000 Jahre lang nicht irren können. Immerhin hatten Gauß und Bolyai und Riemann und andere Mathematiker schon im 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien. Spätestens wenn du in Physik die Einsteinsche Relativitätstheorie studierst, wirst du sehen, wie falsch die Menschen früher dachten. Mit freundlichen Grüßen: Elvis, Mathematikphilosoph (siehe mein Profil) |
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| 01.08.2023, 16:06 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay danke für deine Betrachtung und den Ratschlag. Wenn mein Blick auf die Mathematik unscharf ist und die gedankliche Herangehensweise falsch, dann vermute ich, dass du eine differenzierte Sicht auf die Mathematik hast. Wie sollten junge Menschen wie ich deiner Meinung nach die Mathematik von Grund auf betrachten, um später nicht auf vermeidbare Probleme zu stoßen? |
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| 01.08.2023, 18:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bis jetzt hast du nicht viel falsch gemacht. Du kannst nichts dafür, dass deine Lehrer keine Ahnung von Mathematik haben. Du musst dich nur darauf einstellen, dass vom Tag 1 deines Studiums an eine ganz andere Welt auf dich wartet. Konzentriere dich im Studium auf das, was deine Professoren dir anbieten. Frage niemals "Wozu brauche ich das ?", diese Frage hindert dich nur daran, zu lernen, was du später erst verstehen kannst und was dann lebensnotwendig ist. Jammer nicht rum, dass alles neu und schwierig ist, das muss so sein, denn Mathematik und Physik ist schwierig zu verstehen, aber wenn man sich Mühe gibt, kann man viel erreichen. Meine Erfahrung mit meinen Physik- und Elektrotechnik-Freunden war, dass wir uns gegenseitig prima helfen konnten. So ungefähr wie Gödel und Einstein, nur nicht auf so hohem Niveau. Hau ran und genieß es, wenn du lernen willst, dann hast du jetzt die Gelegenheit dazu. |
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| 01.08.2023, 18:56 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, also im Grunde die Kommunikation bezüglich Stoff und persönlichem Lernstand mit Profs und Kommilitonen ausgiebig gestalten, neugierig die neuen Inhalte in das bestehende Wissen integrieren und nicht die Inhalte, welche scheinbar noch keinen plausiblen Platz im Bild haben vernachlässigen, sondern die mathematischen Teilgebiete als ein ganzes, sich ergänzendes Bild betrachten, das sich mit der Zeit schärft und verständlicher wird? |
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| 01.08.2023, 18:58 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur wie lerne ich die Dinge, die ich zu einem Zeitpunkt noch nicht verstehen kann trotzdem möglichst nachhaltig? |
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| 01.08.2023, 19:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kommunikation mit Professoren? Vorlesung heißt, dass einer redet und viele hören, lesen und schreiben. Lernstand? Interessiert niemanden, ist dein Problem. Du musst Prüfungen bestehen. Bestehendes Wissen? Marginalie. Du musst Neues lernen. Wie lernt man, wenn man nichts versteht? Lerne die neue Sprache zu verstehen und lerne schnell, wie man lernt. Studium ist harte Arbeit, und aller Anfang ist leicht. Das Lernen hört nie auf und wird zunehmend schwerer, und wenn du gut bist, erreichst du einen Abschluss. Dann hast du gelernt, selbstständig zu lernen und zu arbeiten. Willkommen in der Wirklichkeit. |
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| 02.08.2023, 12:00 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was sind für dich erfahrungsgemäß die Hauptprobleme der Studierenden, speziell im ersten Semester, an denen sie scheitern? Du hattest gestern betont, dass das Lernen der mathematischen Sprache sofort sehr sehr wichtig wird. Gibt es ansonsten noch wichtige Punkte? |
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| 02.08.2023, 13:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vertraue darauf, dass deine Professoren sehr viel mehr wissen als du und dass sie wissen, wie ein Studium erfolgreich gestaltet wird. Wenn du genug Geduld und Fleiß hast, kannst du in 8 bis 10 Jahren promoviert werden. Wenn du in 20 Jahren eine eigene Professur hast, dann weißt du, wie es geht, und dann solltest du deinen Studierenden helfen. Bleib locker und glaube nicht, dass du vor dem Studium viel wissen kannst, der Sinn und Zweck des Studiums ist es, Wissen und Können zu erwerben. |
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| 02.08.2023, 14:04 | Jotta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, dann danke für deine Ratschläge, werde sie beherzigen. |
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