Lösungen von x^2 + x = 0 in Z/pZ

29.07.2023, 11:03	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen von x^2 + x = 0 in Z/pZ Wenn $\begin{eqnarray} p > 0 \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist, warum hat die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + x = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ dann zwei Lösungen? Ich habe mal angefangen mit $\begin{eqnarray} x^2 + x = (x + 1)(x + 0) = 0 \end{eqnarray}$ . Damit hat man also immer die triviale Lösung $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ und eine Lösung mit $\begin{eqnarray} x = -1 \end{eqnarray}$ . Wenn ich -1 jetzt im Kontext der Restklasse interpretiere, dann ist dies ja gerade das Element $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ . Ich habe mir ein paare Multiplikationstabellen für $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ erstellt und das Muster scheint zu sein, dass $\begin{eqnarray} 1\cdot 1 = 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2 = 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4 \cdot 4 = 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ . Das heißt das multiplikative Inverse zu $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist Eine richtige Begründung, warum $\begin{eqnarray} x^2 + x = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zwei Lösungen hat, finde ich, ist das nicht. Wie würde man das richtig begründen?
29.07.2023, 12:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In Körpern oder Integritätsbereichen hat jede quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen. In allgemeinen Ringen kann sie mehr Lösungen haben. $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist ein Körper. Für p=2 treten alle 3 Möglichkeiten auf. $\begin{eqnarray} x^2 +x+1=0 \end{eqnarray}$ hat keine Lösung, $\begin{eqnarray} x^2 =0 \end{eqnarray}$ hat eine Lösung, $\begin{eqnarray} x^2 +x=0 \end{eqnarray}$ hat zwei Lösungen. Alle drei möglichen Fälle treten in jedem Körper auf. Wenn eine Lösung a existiert, kann man das quadratische Polynom durch x-a dividieren und erhält eine weitere Lösung b, die gleich a oder von a verschieden sein kann. Das erklärt, warum $\begin{eqnarray} x^2 +x=x(x+1)=0 \end{eqnarray}$ modulo p immer die Lösungen 0 und p-1=-1 hat. $\begin{eqnarray} (p-1)^2 =p^2 - 2p+1^2 =p^2 - 2p+1\equiv 1\mod p \end{eqnarray}$ ist die Begründung dafür, dass modulo p stets p-1 selbstinvers ist.
29.07.2023, 12:31	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, ich verstehe! Auch deine letzte Anmerkung bezüglich $\begin{eqnarray} (p-1)^2 \end{eqnarray}$ fand ich hilfreich!
29.07.2023, 16:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Alle drei möglichen Fälle treten in jedem Körper auf." Diese Bemerkung sollten wir ganz schnell wieder vergessen, alldieweil sie falsch ist. In algebraisch abgeschlossenen Körpern wie z.B. in den komplexen Zahlen hat jedes quadratische Polynom genau eine doppelte Nullstelle oder zwei einfache Nullstellen. Den "Fundamentalsatz" der klassischen Algebra, nach dem jedes komplexe Polynom n-ten Grades mit Vielfachheit gezaehlt genau n komplexe Nullstellen hat, hat Carl Friedrich Gauß in seiner Doktorarbeit als erster und später auf mehr als eine Weise bewiesen. Sehr geehrter Herr Professor Gauß, ich bitte Sie untertaenigst um Entschuldigung. Übrigens gibt es es über jedem Körper bis auf Isomorphie genau einen algebraischen Abschluss, das ist eine Körpererweiterung, in dem der Fundamentalsatz gilt. Vermutlich hat dies Leopold Kronecker als erster bewiesen, ich weiß aber nicht mehr, wo und wann.
29.07.2023, 17:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Punkt auf den noch nicht explizit eingegangen wurde: Falls $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ nicht prim ist, hat man keine Nullteilerfreiheit. Das führt dazu, dass man potentiell mehr als 2 Lösungen findet. Ansonsten funktioniert die Betrachtung vom Eingangspost auch für andere Modulo. Nirgendwo hat man für die Existenz der 2 Lösungen benötigt, dass $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ prim ist.

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