Ring Axiome erfüllt?

29.07.2023, 11:52	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring Axiome erfüllt? Hallo, Sei $\begin{eqnarray} S = \left\{ \left[ 0 \right]_6, \left[ 3 \right]_6 \right\} \end{eqnarray}$ eine Menge von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Die Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen bezüglich $\begin{eqnarray} +,\cdot \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , aber erfüllt $\begin{eqnarray} (S,+,\cdot) \end{eqnarray}$ auch die Ring Axiome? Ich würde sagen, Assoziativgesetzt Addition $\begin{eqnarray} r + (s + t) = (r+s)+t \end{eqnarray}$ ist erfüllt, für jedes Element r,s,t aus S landen wir immer wieder in S und die Klammerung spielt hier keine Rolle. Hier fehlt mir etwas bei der Begründung... Kommutativgesetz $\begin{eqnarray} r + s = s + r \end{eqnarray}$ müsste auch erfüllt sein. Die Restklassen kann man auf beliebige Weise addieren. Additives Neutrales Element $\begin{eqnarray} r + 0 = 0+ r = r \end{eqnarray}$ , müsste auch erfüllt sein, wenn wir als Neutrales Element $\begin{eqnarray} \left[ 0 \right]_6 \end{eqnarray}$ setzen. Additives Inverses Element $\begin{eqnarray} r + (-r) = 0 = (-r) + r \end{eqnarray}$ . Hier bin ich mir nicht ganz sicher also $\begin{eqnarray} \left[ 0 \right]_6 + \left[ 0 \right]_6 = \left[ 0 \right]_6 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left[ 3 \right]_6 + \left[ 3 \right]_6 = \left[ 0 \right]_6 \end{eqnarray}$ , das hieße dann dass $\begin{eqnarray} \left[ 0 \right]_6 \end{eqnarray}$ zu sich selbst invers ist und dass $\begin{eqnarray} \left[ 3 \right]_6 \end{eqnarray}$ auch zu sich selbst invers ist. Assoziativgesetzt Multiplikation $\begin{eqnarray} (r \cdot s) \cdot t = r \cdot (s \cdot t) \end{eqnarray}$ müsste auch erfüllt sein für die Elemente aus der Menge, zumindest fällt mir kein Gegenbeispiel ein... Was sagt Ihr?
29.07.2023, 12:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Axiome müssen für die Teilmenge erfüllt sein, weil sie für die ganze Menge gelten. Es genügt, dass die Teilmenge abgeschlossen für Addition und Multiplikation ist, und das ist der Fall. Jede nichtleere abgeschlossene Teilmenge einer algebraischen Struktur trägt dieselbe Struktur.
29.07.2023, 12:27	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, dann hätte ich mir die "Arbeit" mit den einzelnen Axiomen nicht machen müssen, sondern hätte dies gleich daraus folgern können, dass dies ja bereits für $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt also auch für die (Teil-) Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ .
29.07.2023, 12:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Wir "wissen" das, seitdem wir im ersten Semester Lineare Algebra das Untervektorraum-Kriterium kennengelernt haben. Eine Teilmenge U eines Vektorraums V ist genau dann ein Untervektorraum von V (d.h. eine Teilmenge von V, die selbst ein Vektorraum ist), wenn U nicht leer und gegenüber Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Später haben wir das Prinzip in der Algebra auf Gruppen angewendet: Eine Teilmenge einer (additiven) Gruppe ist genau dann eine Gruppe, wenn sie zu je zwei Elementen a und b die Differenz a-b enthält, denn daraus folgt, dass sie gegenüber Addition und Inversenbildung abgeschlossen ist. Und so geht das "immer", wodurch das Leben wesentlich erleichtert wird.
29.07.2023, 12:54	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine schöne Bemerkung! Mir ist das Kriterium bekannt aus der Linearen Algebra, aber manchmal vergisst man, dass man dieses Wissen auch auf die "abstrakte" Algebra beziehen kann Darum finde ich das klasse, dass du das mit den Vektorräumen noch verbunden hast bzw. den Zusammenhang hergestellt hast!
29.07.2023, 17:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine andere Betrachtung wäre die Isomorphie von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Man müsste vorsichtig bei der Formulierung sein, da wir noch nicht wissen, dass $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Ring ist. Oder auch als Kern der Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb Z/6 \mathbb Z \to \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} [n] \mapsto [n] \end{eqnarray}$ sollte es ebenfalls automatisch eine schöne Struktur haben.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »