Monotonieeigenschaften über Differenzierung/Ableitung

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31.07.2023, 11:06	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieeigenschaften über Differenzierung/Ableitung Meine Frage: aus Meyberg & Vachenauer, S. 158, Übung 3) Es ist zu zeigen, dass die Einstein'sche Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^{2} \frac{e^{x} }{(e^{x} -1)^{2} } \end{eqnarray}$ für x>0 monoton fällt. Dass die Funktion monoton fällt wird für das Einsetzen für einige Werte (1, 2, 5) für x auch schnell ersichtlich - der Wert für die Funktion fällt schnell von 0.7 (x= 1) auf fast 0 bei x = 5. Für x = 0 wäre die Funktion logischerweise auch 0, aber für x = 0 ist die Funktion ja gar nicht definiert (x>0). Meine Ideen: Ich denke, dass geht darüber, dass ich mir die erste Ableitung der Funktion, f'(x), über dem Intervall x>0 bis unendlich, anschaue, und wenn diese <0 ist, ist die Funktion monoton fallend (über dem def. Intervall). Die erste Ableitung f'(x) wäre nach meiner Berechnung - wobei ich zunächst das Produkt im Zähler ableite, danach die Summe (ich löse die Klammer im Quadrat auf) im Nenner, und danach nach der Quotienten-Regel der Ableitung: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^{2} e^{x} }{e^{2x} - 2e^{x} +1 } \\<br /> <br /> f'(x) = \frac{(e^{x} )(x)(2+x)(e^{2x}-2e^{x} +1) - [x^{2} e^{x} (e^{2x} -2e^{x} )]}{(e^{2x} -2e^{x} +1)(e^{2x} -2e^{x} +1) } \end{eqnarray}$ Der Nenner kann nie negativ werden. Damit die Ableitung f'(x) insgesamt <0 ist, was ich ja gerne zeigen würde (Aufgabenstellung) um die Eigenschaft des monotonen Fallens zu beweisen muss der Zähler negativ wird. Das ist nicht unmittelbar ersichtlich - beim Einsetzen von x=0 wird der Zähler zwar 0, aber für x = 1 oder x = 3 wird der Zähler nicht <0. Irgendwas muss falsch sein.
31.07.2023, 11:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) ist ungefähr gleich $\begin{eqnarray} \frac {x^2}{e^x} \end{eqnarray}$ , und dass der Zähler langsamer wächst als der Nenner, beweist die Behauptung.
31.07.2023, 12:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Das ist leider gar nicht so klar. Die Argumentation gälte auch für $\begin{eqnarray} \frac { x^2 (2+\sin(10\cdot x))} {e^x} \end{eqnarray}$ mit einem positiven Zähler, der ebenso bestimmt gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ divergiert. Die zugehörgige Funktion ist nicht monoton fallend. [attach]57202[/attach]
31.07.2023, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's befürchtet, nachdem ich mich unbefugt in eine Analysis-Frage eingemischt habe. Danke.
31.07.2023, 14:15	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ohne auf die schnelle sagen zu können, ob das zielführend ist (dafür müsste ich das selbst mal durchrechnen) kann ich sagen, dass du dich bei der Ableitung des Nenners verrechnet hast. Da fehlt ein Faktor 2 bei der Ableitung von $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ .
31.07.2023, 15:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieeigenschaften über Differenzierung/Ableitung Ich komme auf $\begin{eqnarray} 2e^x-2-x-xe^x \end{eqnarray}$ als Faktor, der über das Vorzeichen entscheidet. Dem kann man mit der Potenzreihendarstellung zu Leibe rücken.
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01.08.2023, 08:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde erstmal umformen: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^2}{\left(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}\right)^2} = \left(g(x)\right)^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x) = \frac{x}{2\sinh\left(\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ positiv ist, ist $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ dort genau dann montoton fallend, wenn dies auch auf $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ zutrifft. An der Reihenentwicklung $\begin{eqnarray} g(x) = \frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2^{2k}\cdot (2k+1)!}} \end{eqnarray}$ kann man das beispielsweise sofort sehen, da der Nenner offenkundig für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ streng monoton wächst. Mit der Ableitung ist es etwas kniffliger, da muss man dann noch nutzen (evtl. auch nachweisen), dass $\begin{eqnarray} \tanh(t) < t \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ gilt. EDIT: Die Idee kann man auch leicht variieren: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^2}{e^x-2+e^{-x}} = \frac{x^2}{2\left(\cosh(x)-1\right)} = \frac{1}{2\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k+2)!}} \end{eqnarray}$
01.08.2023, 11:20	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, war hilfreich. Ich verstehe euch so, dass mein Versuch, über die Ableitung zu gehen, eher ein Irrweg war, und man stattdessen die urprüngliche Funktion umformt, die Beziehung zwischen $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ und sinh bzw. cosh nutzt und dann zur Darstellung einer Summenfunktion von Potenzreihen übergeht, aus der das montone Wachstums des Nenners gegenüber der 1 im Zähler leicht ersichtlich ist und damit das monotone Fallen der Funktion beweist. Der Übergang von den sinh bzw. cosh - Funktionen zur Potenzreihen-Darstellung bereitet mir noch Schwierigkeiten, da muss ich nochmal im Buch nachgucken, die Richtung ist mir aber jetzt klar. Danke, vermutlich bis bald mal wieder.
01.08.2023, 11:50	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs mal sacken lassen - du teilst die Funktion duch $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ , dadurch wird der Nennerausdruck $\begin{eqnarray} \frac{(e^{x}) ^{2} - 2e^{x} +1 }{e^{x} } = <br /> <br /> e^{x} - 2 + \frac{1}{e^{x} } =<br /> <br /> e^{x} - e^{0} - e^{0} + e^{- x} = <br /> <br /> (e^{\frac{x}{2} } - e^{\frac{-x}{2} }) ^{2} \end{eqnarray}$ Dann der Schritt über den Zshg $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ und sinh. Aber wozu die Potenzreihenbildung am Schluss? Reicht nicht aus, wenn ich $\begin{eqnarray} \frac{x}{2 sinh (\frac{x}{2}) } \end{eqnarray}$ durch x teile und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{2 sinh (\frac{x}{2}) }{x} } \end{eqnarray}$ erhalte??? Schon jetzt muss der Nenner schneller wachsen als der Zähler, der bei 1 bleibt.
01.08.2023, 12:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und woran genau "siehst" du, dass $\begin{eqnarray} \frac{2\sinh\left(\frac{x}{2}\right)}{x} \end{eqnarray}$ monoton wachsend ist? Schneller wachsen für $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ ist was anderes als wirkliche Monotonie - denk mal an die Beiträge von Elvis und IfindU oben.
01.08.2023, 13:44	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig, denn der Term im Nenner könnte strenggenommen auch gegen 0 schrumpfen, während die 1 im Zähler stabil bliebe, damit wüchse die Funktion ins Unendliche anstelle monoton zu fallen. Das wäre so wenn x schneller wachsen würde als 2 sinh (x/2), und das Gegenteil müsste man ja erstmal beweisen, womit man (fast) wieder beim Ausgangspunkt der Frage wäre....hm. Dennoch - den Übergang von der sinh bzw. cosh-Funkton zur Potenzreihenbildung bzw. Deinem Summen-Term krieg ich noch nicht so schnell hin, da muss ich nochmal im Buch nachgucken. Alles andere - bis zu diesem letzten Schritt - leuchtet mir jetzt gut ein.
01.08.2023, 13:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Übergang zu den hyperbolischen Funktionen ist kein Hexenwerk, sondern ist einfach über die Zusammenhänge $\begin{eqnarray} \sinh(z) = \frac{e^z-e^{-z}}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cosh(z) = \frac{e^z+e^{-z}}{2} \end{eqnarray}$ begründbar. Die zugehörigen Potenzreihen sind $\begin{eqnarray} \sinh(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cosh(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray}$ , alle genannten Formeln sind für sämtliche komplexen Zahlen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ gültig. ----------------------------------------------------------------- Ohne Reihenentwicklung, aber dafür unter Benutzung der Ableitung könnte man so vorgehen: $\begin{eqnarray} g'(x) = \frac{2\sinh\left(\frac{x}{2}\right)-x\cosh\left(\frac{x}{2}\right)}{4\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\tanh\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x}{2}}{2\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\tanh\left(\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray}$ . Jetzt muss man noch zeigen, dass der Zähler für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ stets negativ ist. Dazu betrachten wir als weitere Hilfsfunktion $\begin{eqnarray} h(t) = \tanh(t)-t \end{eqnarray}$ , für die gilt $\begin{eqnarray} h'(t) = 1-\tanh^2(t)-1 = -\tanh^2(t) < 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} h(t) \end{eqnarray}$ dort streng monoton fallend. Zusammen mit $\begin{eqnarray} h(0)=0 \end{eqnarray}$ bedeutet das dann auch $\begin{eqnarray} h(t)<0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ .
02.08.2023, 10:57	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals danke. Wie gesagt, die Umwandlung von sinush bzw. cosh - Funktionen in die dazugehörigen Potenzreihen war mir nicht präsent. Zum Selber-Herleiten fehlt mir (noch?) das mathematische Gesamtverständnis, ich muss das im "Kochbuch" nachgucken. Findet man hoffentlich z.B. in Bronstein & Semendjajew oder in Meyberg & Vachenauer, ich guck am Wochenende mal nach. Dass auch bei meinem Versuch, direkt über die Ableitung zu gehen, eine Umformulierung in sinh / cosh und dann beim Ableiten in tanh erfolgen muss ist ein guter Hinweis - ich hatte es halt "direkt" versucht und kam nicht weiter.
02.08.2023, 11:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die hyperbolischen Funktionen werden meist stiefmütterlich behandelt, so nach dem Motto "braucht man doch nicht, da einfach mit Exponentialfunktion darstellbar". Ja, mag sein, aber gerade auch in komplexen mit den Beziehungen $\begin{eqnarray} \sinh(iz) = i\sin(z) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \cosh(iz) = \cos(z) \end{eqnarray}$ sind sie doch eine nicht unwichtige Ergänzung des Repertoires der Standardfunktionen.

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