kgV ist assoziativ

01.08.2023, 21:43	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
kgV ist assoziativ Hallo Leute, ich hänge wieder mal an einer wahrscheinlich sehr einfachen Aufgabe. Ich möchte zeigen, dass für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} kgv(a,b,c) = kgv( kgv(a,b),c ) = kgv(a, kgv(b,c)) \end{eqnarray}$ Sei dazu $\begin{eqnarray} \mathbb P \end{eqnarray}$ die Menge der Primzahlen. Dann sind: $\begin{eqnarray} a = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\alpha_p}, b = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\beta_p} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\gamma_p} \end{eqnarray}$ . Nun sind $\begin{eqnarray} kgV(a,b,c) = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\max\left\{\alpha_p, \beta_p, \gamma_p\right\}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} kgV(a,b) = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\max\left\{\alpha_p, \beta_p\right\}} \end{eqnarray}$ Ich weiß leider gerade nicht, wie ich den Schlenker $\begin{eqnarray} kgv(a,b,c) = kgv(kgv(a,b), c) \end{eqnarray}$ hinbekomme Kann mir jemand einen Denkanstoß liefern?
02.08.2023, 05:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
min und max sind in linear geordneten Mengen assoziativ, also sind es auch die so definierten ggT und kgV in faktoriellen Ringen. Du kannst zeigen $\begin{eqnarray} kgV(kgV(a, b),c)=kgV(a,kgV(b,c)) \end{eqnarray}$ Wenn du a, b, c permutierst, bekommst du 6 mal das gleiche Resultat. Lokal sorgen die Ordnungsfunktionen für Gleichheit, global die Kommutativitaet im Ring.
02.08.2023, 07:50	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen Elvis, danke für deine Zeit, ich glaube dein erster Einwand hat mir schon weitergeholfen. Wenn ich schreiben kann $\begin{eqnarray} kgV(kgV(a,b),c) = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\max\{\max\{\alpha_p, \beta_p \},\gamma_p \}} \end{eqnarray}$ , bin ich ja wirklich schnell fertig. Mir fällt es nur immer wieder schwer das "geschachtelte" zu sehen. Ich habe oftmals Bedenken, dass ich schon zu weit weg bin. Ansonsten hätte ich einen Beweis der Form $\begin{eqnarray} a\|b \text{ und } b\|a \Rightarrow a=b \end{eqnarray}$ gefunden, aber der erscheint mir nicht sehr elegant für eine solche "Kleinigkeit". Edit: Ich habe noch eine weitere Frage zum kgV, die würde ich aber in einen anderen Thread auslagern. Ich hoffe, das ist so ok.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »