Saubere Definition des kgV

02.08.2023, 10:43

Malcang

Saubere Definition des kgV

Und hallo mal wieder Wink

ich versuche gerade eine "saubere Definition" des kgV für beliebig viele Argumente aufzuschreiben.
Ich habe dieses geschrieben:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \emptyset\neq M\subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |M|<\infty \end{eqnarray*}$ . Dann definiert
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(M) = \min\{n\in\mathbb N | m \text{ teilt } n \quad\forall m\in M\} \end{eqnarray*}$
das kleinste gemeinsame Vielfache aller Elemente aus $\begin{eqnarray*} M. \end{eqnarray*}$

Ich mache mir allerdings Sorgen, ob der Quantor dort korrekt steht verwirrt

Alternativ würde ich gerne soetwas verwenden:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in\mathbb N. \end{eqnarray*}$ Dann definiert
$\begin{eqnarray*} \operatorname{lcm}(a,b,c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a,b),c) \end{eqnarray*}$
das kleinste gemeinsame Vielfache von $\begin{eqnarray*} a,b,c. \end{eqnarray*}$
Diese Definition lässt sich induktiv auf beliebig viele Argumente erweitern.

Genügt das?
Ich frage mich ob nicht jemand sagen könnte "Wenn du schreibst, das geht induktiv, dann zeig es auch".
Außerdem definiere ich ja das kgV erstmal nur für drei Elemente und reduziere die Berechnung dann auf zwei.
Aber ich will ja auch vier auf drei, fünf auf vier und so weiter reduzieren.
Oder sagt "induktiv" genau das aus?

02.08.2023, 10:51

IfindU

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RE: Saubere Definition des kgV
Das erste ist nicht wohldefiniert. Was ist denn $\begin{eqnarray*} kgV(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Formal ganz sauber müsste er vermutlich vorher stehen, aber am Ende des Tages sind es Konventionen. Solange es eindeutig ist, und man sofort weiß was gemeint ist, ist es mir egal. Andere mögen da andere Meinungen haben.

Persönlich mag ich das erste besser. Und du könntest es induktiv definieren mit $\begin{eqnarray*} lcm \colon \mathbb N^{n+1} \to \mathbb N, lcm( a_1, \ldots, a_{n+1} ) = lcm ( lcm( a_1, \ldots, a_n), a_{n+1}) \end{eqnarray*}$ . Und dann musst du aber den Rekursionanfang definieren, und es ist etwas unsauber, dass unendlich viele Funktionen den gleichen Namen $\begin{eqnarray*} lcm \end{eqnarray*}$ tragen.

02.08.2023, 11:04

Malcang

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RE: Saubere Definition des kgV
Hallo IfindU, danke für die Anmerkungen!

Zitat:

Original von IfindU
Das erste ist nicht wohldefiniert. Was ist denn $\begin{eqnarray*} kgV(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Oh, richtig. Habe ich oben geändert Augenzwinkern

Zitat:

Original von IfindU
Formal ganz sauber müsste er vermutlich vorher stehen, aber am Ende des Tages sind es Konventionen. Solange es eindeutig ist, und man sofort weiß was gemeint ist, ist es mir egal. Andere mögen da andere Meinungen haben.

Ich tue mir auch insbesondere mit dem Strich für Teilbarkeit und dem Strich für "hat die Eigenschaft" schwer, wenn es hintereinander kommt.

Zitat:

Original von IfindU
Persönlich mag ich das erste besser. Und du könntest es induktiv definieren mit $\begin{eqnarray*} lcm \colon \mathbb N^{n+1} \to \mathbb N, lcm( a_1, \ldots, a_{n+1} ) = lcm ( lcm( a_1, \ldots, a_n), a_{n+1}) \end{eqnarray*}$ . Und dann musst du aber den Rekursionanfang definieren, und es ist etwas unsauber, dass unendlich viele Funktionen den gleichen Namen $\begin{eqnarray*} lcm \end{eqnarray*}$ tragen.

Das sieht an sich gut aus, aber ich versuche die Pünktchenschreibweise zu umgehen, wo es nur geht.
Ansonsten würde ich, deinem Vorschlag folgend, dieses machen:

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen. Dann definiert
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(a,b) = \min\{n\in\mathbb N | a \text{ teilt } n \text{ und } b\text{ teilt } n\} \end{eqnarray*}$
das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b.
Dies lässt sich induktiv auf beliebig $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ natürliche Argumente erweitern vermöge
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}: \mathbb N^{n}\rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(a_1, \dots, a_n) = \operatorname{kgV}(\operatorname{kgV}(a_1, \dots, a_{n-1}), a_n) \end{eqnarray*}$

02.08.2023, 11:42

IfindU

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Die Pünktchen-Schreibweise dient dazu einem das Leben einfacher zu machen. Es geht immer ohne. Entweder nach Definition gleich und wenigstens bis auf kanonische Bijektion ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N^{n+1} = \mathbb N^{n} \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ und damit gilt für $\begin{eqnarray*} \mathbf a \in \mathbb N^{n+1} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \mathbf a' \in \mathbb N^{n}, b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} \mathbf a = (\mathbf a', b) \end{eqnarray*}$ . Dann kann man definieren $\begin{eqnarray*} lcm(\mathbf a) = lcm(lcm(\mathbf a'), b) \end{eqnarray*}$ .

Ob das verständlicher ist, sei jedem selbst überlassen Augenzwinkern

Beiu der Definition würde ich nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sowohl als natürliche Zahl nehmen, welche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ teilen müssen als auch die Dimension für die rekursive Definition.

02.08.2023, 11:44

Malcang

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Danke nochmal für die guten Hinweise. Ich werde das nach dem Sushi mal in LaTeX verfassen und würde mich freuen, wenn du nochmal reinschaust Augenzwinkern

02.08.2023, 12:54

IfindU

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Eine besonders kurze Definition wäre übrigens
$\begin{eqnarray*} kgV(M) = \min \bigcap_{m \in M} m \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

02.08.2023, 16:26

Malcang

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Ich tue mir richtig schwer damit unglücklich

Aktuell habe ich es so gemacht:
[attach]57208[/attach]

02.08.2023, 16:51

Leopold

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Die Minimalität kann man statt auf die Kleinerrelation auch auf die Teilbarkeitsrelation beziehen.

Seien $\begin{align*} a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\} \end{align*}$ .

Dann heißt $\begin{align*} v \in \mathbb{N} \end{align*}$ kleinstes gemeinsames Vielfaches von $\begin{align*} a_1, \ldots, a_n \end{align*}$ , falls die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ a_i \mid v \ \ (i=1,\ldots,n) \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \text{Für alle} \ w \in \mathbb{N} \ \text{mit} \ a_i \mid w \ \ (i=1,\ldots,n) \ \ \text{gilt:} \ v \mid w \end{align*}$

02.08.2023, 17:14

Malcang

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Danke Leopold für diesen Einwand, ich glaube das werde ich umsetzen.

Anschließend daran habe ich aber noch eine Frage. Ich möchte nach der Definition zeigen, dass das kgV assoziativ ist. Ich zeige also
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(a,b,c) = \operatorname{kgV}(\operatorname{kgV}(a,b),c) = \operatorname{kgV}(a,\operatorname{kgV}(b,c)) \end{eqnarray*}$ .

Genügt es, dass ich es bei diesem Beweis belasse? Oder muss ich noch einen Induktionsbeweis führen, dass dies auch für n Elemente gilt?

02.08.2023, 21:02

IfindU

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@Malcang: Versuch mal mit deiner Definition $\begin{eqnarray*} kgV(2,4) \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Tipp: Ohne den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ zu behandeln, wirst du nicht weiterkommen.

Zum anderen ist $\begin{eqnarray*} \{ a_1 \} \end{eqnarray*}$ keine natürliche Zahl, sondern eine Menge von einer natürlichen Zahl.

Also mein Favorit: Es direkt mit einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ definieren, welche auch immer man nimmt: deine vom Anfang, die von Leopold oder sogar das super kurze von mir. Das ganze rekursiv zu definieren ist eine nette Übung, aber praktischen Mehrwert sehe ich da nicht. Insb. musst du den Fall $\begin{eqnarray*} n =2 \end{eqnarray*}$ eh noch einmal definieren, der dann die ganze Definition noch aufbläst und ähnlich zu dem ist was du sonst direkt für jede Menge definieren kannst.

02.08.2023, 21:23

Malcang

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Danke für all die Mühen. Mein jetziger Stand:
[attach]57212[/attach]

Wie ist eure Meinung dazu? smile

03.08.2023, 08:38

IfindU

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Bei der ersten Definition solltest du noch $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ irgendwo erwähnen. Auch $\begin{eqnarray*} i= \frac 3 2 \end{eqnarray*}$ könnte zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac 3 2 \leq n \end{eqnarray*}$ erfüllen Augenzwinkern

Bei Rechenregel könntest du auch das deutlich allgemeinere $\begin{eqnarray*} kgV(M \cup N) = kgV( kgv(M), kgV(N)) \end{eqnarray*}$ nennen. Mit $\begin{eqnarray*} kgV(\{c\} ) = c \end{eqnarray*}$ folgt dann deine Aussage.

Dazu analog zu deiner Definition am Anfang zu zeigen:
1) Alle Elemente in $\begin{eqnarray*} a \in M \cup N \end{eqnarray*}$ erfüllen $\begin{eqnarray*} a | kgV( kgv(M), kgV(N)) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} kgV( kgv(M), kgV(N)) \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} kgV( M \cup N) \end{eqnarray*}$ .

Der erste teil ist trivial: Wenn $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} a | kgV(M) \end{eqnarray*}$ und damit...

Beim zweiten würde ich versuchen die kgV links via Definition etwas zu zerlegen, in der Hoffnung dass es offensichtlich wird Big Laugh

03.08.2023, 09:06

Finn_

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Als Ordnung $\begin{eqnarray*} a\preceq b :\Leftrightarrow a\mid b \end{eqnarray*}$ auf der Grundmenge $\begin{eqnarray*} G=\mathbb N \end{eqnarray*}$ aufgefasst erfüllt die Teilbarkeit die Axiome einer Halbordnung. Für Halbordnungen sind die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum, Minimum, maximales Element und minimales Element definiert.

Es heißt $\begin{eqnarray*} s\in G \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke der Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq G, \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \forall a\in A\colon a\preceq s \end{eqnarray*}$ gilt, was wir als $\begin{eqnarray*} A\preceq s \end{eqnarray*}$ abkürzen wollen. Das Supremum ist allgemein charakterisierbar als

$\begin{eqnarray*} v = \sup(A) :\Leftrightarrow A\preceq v\land\forall s\in G\colon A\preceq s\Rightarrow v\preceq s. \end{eqnarray*}$

Es gilt allgemein, sofern die darin auftretenden Suprema existent sind, die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \sup (A\cup\{a\}) = \sup(\{\sup(A),a\}), \end{eqnarray*}$

wie man mithilfe der Beziehung

$\begin{eqnarray*} \sup(A)\preceq s \Leftrightarrow A\preceq s \end{eqnarray*}$

per Äquivalenzumformung bestätigen kann.

Es ist nun $\begin{eqnarray*} \mathrm{kgV}(A)=\sup(A) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Teilbarkeit, wie von Leopold vorgebracht wurde. Insofern ist Leopolds Definition in Wirklichkeit kürzer als IfindUs.

03.08.2023, 10:00

Malcang

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Guten Morgen zusammen und danke für den vielen Input. Das muss ich mir gleich in Ruhe anschauen und würde mich dazu wieder melden smile

08.08.2023, 18:29

Malcang

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Hallo nochmal,

ich wollte mich eigentlich viel früher melden, leider kamen einige Dinge dazwischen und ich konnte bis heute nicht mehr bei meiner Arbeit schauen. Ich möchte nicht dass ihr denkt, dass ich mich nichtmehr dafür interessiere, eure Hilfe ist mir nicht nur wichtig sondern bringt mich sehr viel weiter. Daher an dieser einfach nochmal: Vielen Dank für eure Geduld mit mir!
Ich schaue mir dieses Thema in den nächsten Tagen wieder an, ich habe leider gerade den Faden etwas verloren unglücklich

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