Gradient einer Funktion und FF

03.08.2023, 07:16

MMchen60

Gradient einer Funktion und FF

Liebe Forumsgemeinde,
zur Aufgabenstellung im Anhang habe ich folgende Fragen:
a) ist klar, kein Problem.
b) was meint der Aufgabensteller hier mit einer linearen Näherung?
c) Die zweiten partiellen Ableitungen sind beide > 0, Nachweis nicht erforderlich.
Nur, daraus kann ich doch noch nichts schließen, denn ich weiß ja garnicht ob die Determinante der Hesse-Matrix 0, größer 0 oder kleiner 0 ist. Hierzu benötige ich doch noch $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ oder?
Vielen Dank für Antwort.

03.08.2023, 08:33

Finn_

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Zu b). Die lineare Näherung der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} \mathbf a \end{eqnarray*}$ ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} \mathbf x\mapsto f(\mathbf a) + \mathrm df(\mathbf a)(\mathbf x-\mathbf a), \end{eqnarray*}$

also analog zur Tangentengleichung.

Zu c). Zweite Ableitung positiv heißt, dass der Anstieg bei Vergrößerung des Arguments zunimmt. Befindest du dich nun am stationären Punkt, muss der Anstieg beim Verlassen aus deiner Sicht in Richtung der Koordinatenachsen positiv werden. Bei einem Maximum ist dies unmöglich, weil der Anstieg da aus deiner Sicht in jede Richtung abnimmt.

03.08.2023, 11:58

MMchen60

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Zitat:

Original von Finn_
Zu b). Die lineare Näherung der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} \mathbf a \end{eqnarray*}$ ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} \mathbf x\mapsto f(\mathbf a) + \mathrm df(\mathbf a)(\mathbf x-\mathbf a), \end{eqnarray*}$
also analog zur Tangentengleichung.

Dank, OK, gut, aber wie gehe ich hier konkret (mit Zahlen) vor, denn ich habe ja kein a, sondern ein a=(2,1). Und was bedeutet hier lineare Näherung?

Zitat:

Original von Finn_
Zu c). Zweite Ableitung positiv heißt, dass der Anstieg bei Vergrößerung des Arguments zunimmt. Befindest du dich nun am stationären Punkt, muss der Anstieg beim Verlassen aus deiner Sicht in Richtung der Koordinatenachsen positiv werden. Bei einem Maximum ist dies unmöglich, weil der Anstieg da aus deiner Sicht in jede Richtung abnimmt.

Also Minimum, OK?

03.08.2023, 13:35

Finn_

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Zu b). Für konkrete Paare $\begin{eqnarray*} \mathbf a = (a_x,a_y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf x = (x,y) \end{eqnarray*}$ entfaltet sich

$\begin{eqnarray*} f(\mathbf a) + \mathrm df(\mathbf a)(\mathbf x-\mathbf a) \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} f(a_x,a_y) + (\tfrac{\partial f}{\partial x}(a_x,a_y)\mathrm dx + \tfrac{\partial f}{\partial y}(a_x,a_y)\mathrm dy)\begin{pmatrix}x-a_x \\ y-a_y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(a_x,a_y) + \tfrac{\partial f}{\partial x} f(a_x,a_y)(x-a_x) + \tfrac{\partial f}{\partial y}(a_x,a_y)(y-a_y). \end{eqnarray*}$

Der Graph der Funktion ist eine Tangentialebene, die den Graph der ursprünglichen Funktion in der Nähe der Stelle $\begin{eqnarray*} \mathbf a \end{eqnarray*}$ so nähert, wie eine Tangente den Graph einer Funktion nähert. Linear bedeutet, die Tangentialebene ist ungekrümmt, oder dass $\begin{eqnarray*} \mathrm df(\mathbf a) \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, genauer eine Linearform ist.

Zu c). Möglich. Es könnte aber beispielsweise auch sein, dass es zwar entlang der Achsen bergauf geht, diagonal allerdings bergab.

04.08.2023, 05:30

MMchen60

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Hallo, danke noch mal.
Die übermittelte Darstellung habe ich jetzt verstanden.
Aber was meint der Aufgabensteller, wenn er von der Stelle (2,1) spricht und eine lineare Approximation für f(1,95,1,1) spricht?
Soll ich nun (2,1) einsetzen oder (1,95;1,1)?
VG MMchen

04.08.2023, 05:50

MMchen60

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Zitat:

Original von Finn_
Zu c). Möglich. Es könnte aber beispielsweise auch sein, dass es zwar entlang der Achsen bergauf geht, diagonal allerdings bergab.

Wie wäre die Frage aber zu beantworten?
Gemäß Aufgabenstellung mit "Kann garantiert kein Hochpunkt sein"?

04.08.2023, 08:52

Finn_

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Ja, ich denke schon. Wie wollen wir einem Hochpunkt verstehen? Das ginge, wie ich skizziert habe, folgendermaßen. Wir betrachten an der stationären Stelle $\begin{eqnarray*} \mathbf x_0 \end{eqnarray*}$ zum Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \mathbf v\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ den Parameterstrahl

$\begin{eqnarray*} \gamma\colon\mathbb R_{\ge 0}\to\mathbb R^2,\quad \gamma(t) := \mathbf x_0 + \mathbf vt. \end{eqnarray*}$

Für einen Hochpunkt im strengen Sinne soll nun $\begin{eqnarray*} (f\circ\gamma)''(t)<0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ zu jedem $\begin{eqnarray*} \mathbf v \end{eqnarray*}$ gelten, heißt in Worten, in jede Richtung wird der Anstieg aus der Sicht des Bergsteigers abnehmen im Sinne von negativ werden. Für $\begin{eqnarray*} \mathbf v = \mathbf e_x \end{eqnarray*}$ gilt jedoch

$\begin{eqnarray*} (f\circ\gamma)''(0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\mathbf x_0) > 0. \end{eqnarray*}$

Streng genommen müsste man diese Gleichung aus der Definition

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf x) := (f\circ\gamma_{\mathbf x})'(0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma_{\mathbf x}(t) := \mathbf x + \mathbf e_x t \end{eqnarray*}$

vermittels der gewöhnlichen Kettenregel herleiten.

04.08.2023, 10:38

Ehos

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Anschauliche Erklärung:
Jede Funktion f(x,y) kann man sich als gekrümmte Fläche über der xy-Ebene vorstellen ("Gebirge") . Unter der linearen Näherung an irgendeinem Punkt (xo;yo) versteht man die Tangentialebene an diesem Punkt. Der Berührungspunkt lautet [x0;y0, f(x0,yo)]. Spezialfall: Befindet sich bei (xo;yo) ein Maximum oder Minimum, dann liegt Tangentialebene parallel zur xy-Ebene.

Rechnung:
Zuerst stellt man die Parametergleichung der Fläche auf. Diese lautet offenbar

$\begin{eqnarray*} \vec x(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offenbar wird die Tangentialebene durch die beiden Tangentialvektoren $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial y} \end{eqnarray*}$ aufgespannt. Berechne diese beiden Vektoren! Damit und mit dem o.g. Berührungspunkt kann man die Ebenengleichung der Tangentialebene aufstellen. Das ist im Prinzip Schulmathematik.

04.08.2023, 11:03

MMchen60

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Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} \vec x(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hallo danke, das ist mir schon klar, auch habe ich das verstanden, was Finn_ geschrieben hat. Nur ein Post ist untergegangen.
Es ist ein Punkt P(2,1) genannt und dann etwas zu einer linearen Näherung an dieser Stelle eine Approximation für f(1,95;1,1) zu benennen. Was soll das heißen, bzw. was ist das?
VG MMchen

04.08.2023, 12:02

Finn_

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Ein wenig ausführlicher. Betrachte $\begin{eqnarray*} f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Der Graph der Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = f(a) + f'(a)(x-a). \end{eqnarray*}$

ist bekanntlich die Tangente, die sich im Punkt $\begin{eqnarray*} (a,f(a)) \end{eqnarray*}$ an den Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anschmiegt. Es ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ für Stellen in der Nähe von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die lineare Näherung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g(x)\approx f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\approx a. \end{eqnarray*}$

So verhält es sich auch bei Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\to\mathbb R^m, \end{eqnarray*}$ nur ist dann $\begin{eqnarray*} f'(\mathbf a) \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung bzw. deren darstellende Matrix. Bei $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ reduziert sie sich zum totalen Differential bzw. dessen Zeilenvektor. Weil wir uns im Koordinatenraum befinden, gilt hierbei

$\begin{eqnarray*} \mathrm df(\mathbf a)(\mathbf x-\mathbf a) = \langle \nabla f(\mathbf a),\mathbf x-\mathbf a\rangle, \end{eqnarray*}$

in Worten, die Anwendung des totalen Differentials ist das Skalarprodukt mit dem Gradienten.

04.08.2023, 12:04

mYthos

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Es könnte so gemeint sein:
Du sollst die lineare Näherungsfunktion für die Stelle (2; 1) bestimmen und darin dann die Stelle (1.95; 1.1) einsetzen.
Den damit erhaltenen Näherungswert (z~1) kannst du mit dem durch Einsetzen von (1.95; 1.1) erhaltenen exakten Wert (z1) vergleichen und damit den Fehler betimmen, der durch die Näherung entstanden ist.

mY+

05.08.2023, 15:37

MMchen60

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Zitat:

Original von mYthos
Du sollst die lineare Näherungsfunktion für die Stelle (2; 1) bestimmen und darin dann die Stelle (1.95; 1.1) einsetzen.
mY+

Hallo Danke, ja, so war es gemeint, bin ich jetzt auch dahintergfekommen.
Danke nochmals.

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