Aussagen zu rotationssymmetrischen, differenzierbaren Funktionen

03.08.2023, 09:58

MMchen60

Aussagen zu rotationssymmetrischen, differenzierbaren Funktionen

Liebe Forumsgemeinde,
würdet ihr bitte mal meine Lösungen zu den einzelnen Punkten gem. Aufgabe im Anhang auf Korrektheit prüfen (mit X markiert) bzw. einen Tipp geben, wie ich auf die richtigen Angaben für die mit "?" markierten Punkte komme? Vielen Dank für Antwort.

04.08.2023, 13:23

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt nicht notwendig, siehe z.B. deine Funktion hier, bei der ist $\begin{eqnarray*} f(0,0)=1 \end{eqnarray*}$ .

Für viele weitere Fragen kann man nutzen, dass solche rotationssymmetrischen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Struktur haben $\begin{eqnarray*} f(x,y) = g\left(x^2+y^2\right) \end{eqnarray*}$ mit einer reellen differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray*} g:~[0,\infty)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :

Dann ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = g'\left(x^2+y^2\right)\cdot 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}f(x,y) = g'\left(x^2+y^2\right)\cdot 2y \end{eqnarray*}$ .

Daher gilt $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}f(x_0,0) = g'\left(x_0^2\right)\cdot 2x_0 \end{eqnarray*}$ , was nicht notwendig 0 ist.
Hingegen gilt $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}f(x_0,0) = g'\left(x_0^2\right)\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem folgt $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f(x,y) = 2g'\left(x^2+y^2\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Alles ín allem liegst du sehr oft daneben, von zufälligem Ankreuzen kaum zu unterscheiden:

Richtig sind 2,4,6,7,10.
Falsch sind 1,3,5,8,9.

07.08.2023, 15:19

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Alles ín allem liegst du sehr oft daneben, von zufälligem Ankreuzen kaum zu unterscheiden:
Richtig sind 2,4,6,7,10.
Falsch sind 1,3,5,8,9.

Danke HAL900, ist jetzt so weit klar bis auf 9 und 10. Wie wäre da die Argumentation für richtig bzw. falsch?
Danke für Antwort.

07.08.2023, 15:31

HAL 9000

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Na bei 9) betrachte doch einfach mal die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=1 \end{eqnarray*}$ , die ist gewiss rotationssymmetrisch. Ich merke allerdings gerade, dass ich $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ als die Kreisscheibe angenommen habe. Solltest du stattdessen wirklich die eindimensionale Kreislinie gemeint haben, dann ist Integralwert 0 trivialerweise richtig - aber dazu braucht es keine Radialsymmetrie, das stimmt dann für jeden reellen Integranden.

Bei (10) nutze einfach $\begin{eqnarray*} f(-x,y)=f(x,y) \end{eqnarray*}$ für radialsymmetrische Funktionen und die naheliegende Integraltransformation (bzw. -substitution), die einfach das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umdreht.

07.08.2023, 16:39

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Na bei 9) betrachte doch einfach mal die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=1 \end{eqnarray*}$ , die ist gewiss rotationssymmetrisch. Ich merke allerdings gerade, dass ich $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ als die Kreisscheibe angenommen habe. Solltest du stattdessen wirklich die eindimensionale Kreislinie gemeint haben, dann ist Integralwert 0 trivialerweise richtig - aber dazu braucht es keine Radialsymmetrie, das stimmt dann für jeden reellen Integranden.

Also, die von mir angekreuzte Lösung ist die Lösung des Profs in seinem Lösungsblatt. Und da ist "gilt nicht" angekreuzt. Ich finde aber - wie du auch sagst - die Formulierung nicht eindeutig. Unter Kreis kann man nun eine Kreisfläche oder aber einen Kreisumfang verstehen.
Ich verstehe das aber für beides als nicht möglich, denn, ist f(x,y) eine Kreisfläche, so berechnet das Integral doch das Volumen eines Zylinders mit der Höhe 1, oder? Der kann aber nicht Null sein. Ist es aber eine Kreislinie, dann berechnet das Integral wohl irgendeine Fläche, die ich mir momentan nicht so richtig vorstellen kann, aber das kann doch auch nicht Null werden, oder? (Wobei die Integralgrenzen doch in beiden Fällen wohl [-1;1}x[-1;1] sind)

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei (10) nutze einfach $\begin{eqnarray*} f(-x,y)=f(x,y) \end{eqnarray*}$ für radialsymmetrische Funktionen und die naheliegende Integraltransformation (bzw. -substitution), die einfach das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umdreht.

Dass bei radialsymmetrischen Funktionen $\begin{eqnarray*} f(-x,y)=f(x,y) \end{eqnarray*}$ klaro. Aber, was muss ich unter Integraltransformation (bzw. -substitution) verstehen?
VG MMchen

07.08.2023, 19:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Ist es aber eine Kreislinie, dann berechnet das Integral wohl irgendeine Fläche, die ich mir momentan nicht so richtig vorstellen kann, aber das kann doch auch nicht Null werden, oder?

Es geht dabei nicht um ein Kurvenintegral, sondern nach wie vor um ein Integral über eine Fläche, die im Fall der bloßen Kreislinie aber den Flächeninhalt 0 hat. Selbstverständlich ist das Integral über eine solche Fläche gleich Null, ganz egal wie groß der Integrand ist. Augenzwinkern

Zu 10) Also du wirst doch wohl Integralsubstitution kennen!

08.08.2023, 07:55

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zu 10) Also du wirst doch wohl Integralsubstitution kennen!

Habs mal stur gerechnet, siehe Anhang, aber das g mal weggelassen. Darf man das denn? Was ist das g eigentlich? Eine Funktion? Und wie könnte die aussehen?
VG MM

08.08.2023, 10:02

HAL 9000

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Ich hatte es so gemeint: Es ist ja gemäß Fubini

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{D_1} f(x,y) ~ \dd(x,y) = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y\qquad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{D_2} f(x,y) ~ \dd(x,y) = \int\limits_0^1 \int\limits_{-1}^0 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y\qquad (2) \end{eqnarray*}$ .

Für das innere Integral (also das bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) kann man ja nun $\begin{eqnarray*} u=-x \end{eqnarray*}$ substituieren und erhält

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 f(x,y) ~ \dd x = \int\limits_1^0 f(-u,y) ~ (-\dd u) = \int\limits_0^1 f(-u,y) ~ \dd u \end{eqnarray*}$

Wegen der Rotationssymmetrie gilt ja nun $\begin{eqnarray*} f(-u,y) = f(u,y) \end{eqnarray*}$ , und mit Tausch des Integrationssymbols wieder von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ zurück nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bekommen wir somit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 f(x,y) ~ \dd x = \int\limits_0^1 f(x,y) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Damit ist natürlich auch (1)=(2).

Zitat:

Original von MMchen60
Was ist das g eigentlich? Eine Funktion? Und wie könnte die aussehen?

Eine solche rotationssymmetrische Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ nur vom Abstand $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Stelle $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ vom Ursprung abhängt. Es ist nun mal $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt eine Funktion $\begin{eqnarray*} h:~[0,\infty)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = h(r) = h\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . Ich hab es mir nur noch etwas bequemer gemacht und statt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ von der Funktion $\begin{eqnarray*} g(t) = h\left(\sqrt{t}\right) \end{eqnarray*}$ geredet, im Endeffekt dann also $\begin{eqnarray*} f(x,y)=g\left(x^2+y^2\right) \end{eqnarray*}$ .

Mit einem solchen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann man dann auch vieles sauber beweisen, was das rotationssymmetrische $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ betrifft - ob das nun solche Aussagen zu den partiellen Ableitungen sind (wie oben), oder ganz einfache Symmetrien wie das eben verwendete $\begin{eqnarray*} f(-u,y) = g\left((-u)^2+y^2\right) = g\left(u^2+y^2\right) = f(u,y) \end{eqnarray*}$ .

Im Falle des Integranden $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ist offenbar ganz einfach $\begin{eqnarray*} g(t)=t \end{eqnarray*}$ .

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