Addition positiv semidefiniter Matrizen

03.08.2023, 08:50

KonverDiv

Addition positiv semidefiniter Matrizen

Hallo,

Angenommen $\begin{eqnarray*} \mathbf{A},\mathbf{B} \end{eqnarray*}$ sind positiv semidefinite Matrizen, ist dann auch $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}+\mathbf{B} \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit?

Mein Ansatz wäre, wir haben $\begin{eqnarray*} \mathbf{x^T A x} \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf{x^T B x} \geq 0 \end{eqnarray*}$ nach Definition der positiv semidefiniter Matrizen. Für $\begin{eqnarray*} \mathbf{x^T (A+B) x} \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} \mathbf{x^T (A+B) x} = \mathbf{x^T A x} + \mathbf{x^T B x} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , damit wäre also $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}+\mathbf{B} \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit.

Geht das als Beweis? verwirrt