Hermitesche Matrix und Positivität

03.08.2023, 15:35	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hermitesche Matrix und Positivität Hallo, wenn $\begin{eqnarray} \mathbf{A} \end{eqnarray}$ eine hermitesche Matrix ist und wir wissen, dass $\begin{eqnarray} \mathbf{A} \end{eqnarray}$ nicht negative Eigenwerte hat warum ist dann $\begin{eqnarray} \langle \psi \| \mathbf{A} \| \psi \rangle \geq 0 \end{eqnarray}$ ? Ich würde anfangen mit der Spektralzerlegung von $\begin{eqnarray} \mathbf{A} \end{eqnarray}$ , diese wäre dann ja $\begin{eqnarray} \mathbf{A} = \mathbf{U^ D U} \end{eqnarray}$ , dies würde mich dann zu der Idee veranlassen $\begin{eqnarray} \langle \psi \| \mathbf{A} \| \psi \rangle = \langle \psi \| \mathbf{U^* D U} \| \psi \rangle = \langle \psi \mathbf{U^} \| \mathbf{D} \| \mathbf{U} \psi \rangle \end{eqnarray}$ , könnte man daraus jetzt schließen, dass dieser Ausdruck positiv ist, weil $\begin{eqnarray} \mathbf{D} \end{eqnarray}$ nach Annahme nicht negative Eigenwerte hat?
03.08.2023, 15:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermitesche Matrix und Positivität Vom Ansatz passt das, aber: $\begin{eqnarray} \langle \psi \| \mathbf{A} \| \psi \rangle = \langle \psi \| \mathbf{U^ D U} \| \psi \rangle = \langle \psi \mathbf{U^} \| \mathbf{D} \| \mathbf{U} \psi \rangle \end{eqnarray}$ Das ist nicht korrekt. Ich nehme an es ist $\begin{eqnarray} \langle \psi \| \mathbf{A} \| \psi \rangle = \psi^ A \psi \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \langle \psi \| \mathbf{U^* D U} \| \psi \rangle = \psi^* \mathbf{U}^* \mathbf{D} \mathbf{U} \psi = (\mathbf{U} \psi)^* \mathbf{D} (\mathbf{U} \psi) = \langle \mathbf{U}\psi \| \mathbf{D } \| \mathbf{U}\psi \rangle \end{eqnarray*}$
03.08.2023, 16:27	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermitesche Matrix und Positivität @IfindU OH JA, da war ich gerade etwas nachlässig mit dem Eintippen! Aber ja, genau so war das von mir auch gemeint und aus $\begin{eqnarray} \langle \mathbf{U}\psi \| \mathbf{D } \| \mathbf{U}\psi \rangle \end{eqnarray}$ zusammen mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray} \mathbf{D} \end{eqnarray}$ nur positive Eigenwerte hat, folgt dann, dass dies größer gleich Null ist, richtig? Eine weitere Frage: Wenn ich nur wüsste, dass $\begin{eqnarray} \langle \psi \| \mathbf{A} \| \psi \rangle \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbf{A} \end{eqnarray}$ eine hermitesche Matrix ist, ließe sich dann auch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbf{A} \end{eqnarray}$ nicht negative Eigenwerte hat? Ginge das auch wieder über die Spektralzerlegung, oder müsste man einen anderen Ansatz wählen? Danke für deine Hilfe!
03.08.2023, 17:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermitesche Matrix und Positivität Ja. Du kannst es auch aufschreiben. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray} \sum \lambda_i \|(U\psi)_i\|^2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ die Eigenwerte sind. Zur zweiten Frage: Sei $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor mit negativem Eigenwert. Dann ist $\begin{eqnarray} \langle v \|A \| v \rangle < 0 \end{eqnarray}$ . Direkt ein Widerspruch.
03.08.2023, 18:00	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde auch folgendes gehen: Gegeben: $\begin{eqnarray} 0 \leq \psi^ \mathbf{A} \psi \end{eqnarray}$ (für alle $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ) und wir wollen zeigen, die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} \mathbf{A} \end{eqnarray}$ (hermitesch) sind nicht negativ. Wir haben $\begin{eqnarray} 0 \leq \psi^* \mathbf{A} \psi = \psi^* (\lambda \psi) = \lambda \psi^* \psi = \lambda \end{eqnarray}$ wobei ich angenommen habe, dass $\begin{eqnarray} \mathbf{A \psi} = \mathbf{\lambda \psi} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \psi \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi^* \psi = 1 \end{eqnarray*}$ ist.
03.08.2023, 18:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
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