Abbildungen

07.08.2023, 09:54

Evelyn2003

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Abbildungen

Bestimmen Sie für jede der folgenden Abbildungen $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , ob sie injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist:

a) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = 27 \cdot x + 13 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = 8x^2 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = -3 \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = |x| \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = e^x \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = 2 - x \end{eqnarray*}$

Bei der Teilaufgabe a) handelt es sich ja eindeutig um eine lineare Funktion (Gerade) weswegen ich ja graphisch schon erkennen kann das diese Funktion bijektiv ist. Wie beweise ich jedoch bitte das es injektiv als auch surjektiv ist.

Definition Injektiv
Sei $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Kontraposition:
$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 27 \cdot x_1 + 13 = 27 \cdot x_2 + 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 27 \cdot x_1 + 13 = 27 \cdot x_2 + 13 \ |-13, :27 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Definition Surjektiv
$\begin{eqnarray*} \forall y \in \mathbb R \ \exists x \in \mathbb R: f(x) = y \end{eqnarray*}$

Ist der Beweis für die Injektivität von mir so richtig? Und wie geht das für die Surjektivität bitte? verwirrt

verwirrt

07.08.2023, 10:41

Finn_

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Die Existenzaussage $\begin{eqnarray*} \exists x\colon A(x) \end{eqnarray*}$ ist bewiesen, wenn ein die Aussageform $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ erfüllendes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konstruiert ist. Auffindbar ist es bei a) unbestritten durch Lösung der Gleichung.

Die Verneinung der Surjektivität einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist wohlgemerkt

$\begin{eqnarray*} \exists y\in\mathbb R\colon\forall x\in\mathbb R\colon y\ne f(x). \end{eqnarray*}$

Sie ist entsprechend bewiesen, wenn ein die Allaussge erfüllendes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gefunden wurde.

07.08.2023, 11:30

Evelyn2003

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$\begin{eqnarray*} \forall y \in \mathbb R \ \exists x \in \mathbb R: f(x) = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=27 \cdot x+13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=27 \cdot x+13 |-13, :27 \Rightarrow x = \frac{y-13}{27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\frac{y-13}{27}) = 27 \cdot \frac{y-13}{27}+13 = y-13+13 = y \end{eqnarray*}$

so richtig? verwirrt

verwirrt

Kann das vielleicht bitte jemand freundlicherweise anderes als Finn übernehmen? Finns antworten finde ich zwar ausführlich aber für meine Verhältnisse oder Matheniveau unverständlich.

07.08.2023, 11:40

Finn_

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Ja, so wird der Beweis bewältigt, und insofern du die Äquivalenzumformung als solche darstelltest, müsstest du nicht einmal mehr die Probe machen, obgleich man sich damit in der Praxis auf dünnem Eis bewegt.

07.08.2023, 12:18

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Finn_
Ja, so wird der Beweis bewältigt, und insofern du die Äquivalenzumformung als solche darstelltest, müsstest du nicht einmal mehr die Probe machen, obgleich man sich damit in der Praxis auf dünnem Eis bewegt.

Bei der Probe erhalte ich wenn ich für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ einsetzte jedoch einen seltsamen Wert? Also für $\begin{eqnarray*} x=-0,\overline4 \end{eqnarray*}$ , ist der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Wert laut dem Foto bei ungefähr $\begin{eqnarray*} 1,2 - 1,3 \end{eqnarray*}$ sein?
Probe:

$\begin{eqnarray*} f(\frac{1-13}{27}) = 27 \cdot -0,\overline 4 +13 = 1 = y \end{eqnarray*}$

Vielen Dank, Finn. Wie hättet du das bitte mit der verneinten Aussage (der Surjektivität) bewiesen?

07.08.2023, 12:29

Elvis

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Mit der verneinten Aussage, die aussagt, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, kann nicht einmal Finn beweisen, dass die Abbildung surjektiv ist. Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.

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07.08.2023, 12:54

Finn_

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Zitat:

Bei der Probe erhalte ich wenn ich für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ einsetzte jedoch einen seltsamen Wert? Also für $\begin{eqnarray*} x=-0,\overline4 \end{eqnarray*}$ , ist der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Wert laut dem Foto bei ungefähr $\begin{eqnarray*} 1,2 - 1,3 \end{eqnarray*}$ sein?

Womöglich ist dir ein Fehler beim Ablesen unterlaufen. Bei 0,434 abgelesen, nicht bei 0,444? Die Probe hast du ja bereits symbolisch durchgeführt, ich meine für y beliebig, aber fest.

Zitat:

Wie hättet du das bitte mit der verneinten Aussage (der Surjektivität) bewiesen?

Betrifft b).

07.08.2023, 13:09

HAL 9000

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RE: Abbildungen

Zitat:

Original von Evelyn2003
Wie beweise ich jedoch bitte das es injektiv als auch surjektiv ist.

Gib z.B. eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:~\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ an, für die sowohl $\begin{eqnarray*} f(g(x))=x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} g(f(x))=x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt. Denn dann ist $\begin{eqnarray*} g=f^{-1} \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die es nur im Fall bijektiv (=injektiv & surjektiv) geben kann.

a) Mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x-13}{27} \end{eqnarray*}$ klappt das.

f) Hier klappt $\begin{eqnarray*} g(x)=2-x \end{eqnarray*}$ .

In allen anderen Fällen erübrigt sich das, da keine Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vorliegt.

07.08.2023, 15:06

Evelyn2003

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Wenn ich jetzt für die Teilaufgabe b zeigen soll das sie nicht surjektiv ist:

b) $\begin{eqnarray*} \ f(x) = 8x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=y \Rightarrow f(x)=-1\ |:8 \Rightarrow \ x^2 = -\frac{1}{8} \ | \ \pm \sqrt{} \Rightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\pm \sqrt{-\frac{1}{8}}) = 8 \cdot (\pm \sqrt{-\frac{1}{8}})^2 \Rightarrow 8 \cdot \pm -\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

wie rechne ich bitte den letzten Term aus? verwirrt

verwirrt

07.08.2023, 15:19

HAL 9000

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Warum machst du die Dinge komplizierter als sie sind? Es gilt $\begin{eqnarray*} x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , und damit auch $\begin{eqnarray*} 8x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ unmöglich und somit $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv.

Du operierst hier ohne Sinn und Verstand mit $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$ , so als würden wir uns im Bereich der komplexen Zahlen bewegen - was nicht der Fall ist. unglücklich

unglücklich

07.08.2023, 15:43

Evelyn2003

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Zitat:

Original von HAL 9000
Warum machst du die Dinge komplizierter als sie sind? Es gilt $\begin{eqnarray*} x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , und damit auch $\begin{eqnarray*} 8x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ unmöglich und somit $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv.

Du operierst hier ohne Sinn und Verstand mit $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$ , so als würden wir uns im Bereich der komplexen Zahlen bewegen - was nicht der Fall ist. unglücklich

unglücklich

Hätte man auch argumentieren können das unter der Annahme das $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ , das darauffolgend bestimmte $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$ sich nicht im Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ befindet?

07.08.2023, 15:59

HAL 9000

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Warum mit im reellen undefinierten Termen wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$ rumjonglieren? Meines Erachtens keine gute Idee - erst recht nicht, falls ihr komplexe Zahlen noch gar nicht behandelt habt.

09.08.2023, 11:27

Evelyn2003

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Zitat:

Original von HAL 9000
Warum mit im reellen undefinierten Termen wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$ rumjonglieren? Meines Erachtens keine gute Idee - erst recht nicht, falls ihr komplexe Zahlen noch gar nicht behandelt habt.

Vielen Dank, Hal!

Wie zeige ich das dann bitte bei der Teilaufgabe c das sie surjektiv ist?
Da habe ich wieder das Problem mit dem Wurzel-Minus?

$\begin{eqnarray*} y=-x^3 |\cdot -1 \Rightarrow -y=x^3 |\sqrt{} \Rightarrow \sqrt[3]{-y} =x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\sqrt[3]{-y}) = -(\sqrt[3]{-y})^3 = y \end{eqnarray*}$

09.08.2023, 11:59

Evelyn2003

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Es hat sich für mich erledigt. Vielen Dank!

09.08.2023, 12:30

HAL 9000

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Ich lese bei c) oben $\begin{eqnarray*} f(x) = -3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(x) = -x^3 \end{eqnarray*}$ . Und ersteres ist gewiss nicht surjektiv. unglücklich

unglücklich

10.08.2023, 08:32

Evelyn2003

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich lese bei c) oben $\begin{eqnarray*} f(x) = -3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(x) = -x^3 \end{eqnarray*}$ . Und ersteres ist gewiss nicht surjektiv. unglücklich

unglücklich

Vielen Dank für den Hinweis. Aber ersteres war auch ein Tippfehler von mir.

10.08.2023, 10:59

Evelyn2003

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich lese bei c) oben $\begin{eqnarray*} f(x) = -3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(x) = -x^3 \end{eqnarray*}$ . Und ersteres ist gewiss nicht surjektiv. unglücklich

unglücklich

Wie könnte ich denn bitte zeigen das $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+2x \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv ist?

10.08.2023, 11:08

URL

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Da gibt es einige Möglichkeiten
1. Du könntest untersuchen, für welche reellen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+2x=y \end{eqnarray*}$ lösbar ist. Mitternachtsformel
2. der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel. Also gibt*s einen minimalen Wert. Alle Zahlen unterhalb können nicht erreicht werden.
3. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+2x=x(x+2) \end{eqnarray*}$ . Also hat f die Nullstellen 0 und -2. Der Scheitelpunkt liegt dazwischen und man kann das Minimum direkt angeben .
4. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1 \geq -1 \end{eqnarray*}$

10.08.2023, 11:46

Evelyn2003

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Zitat:

Original von URL
Da gibt es einige Möglichkeiten
1. Du könntest untersuchen, für welche reellen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+2x=y \end{eqnarray*}$ lösbar ist. Mitternachtsformel
2. der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel. Also gibt*s einen minimalen Wert. Alle Zahlen unterhalb können nicht erreicht werden.
3. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+2x=x(x+2) \end{eqnarray*}$ . Also hat f die Nullstellen 0 und -2. Der Scheitelpunkt liegt dazwischen und man kann das Minimum direkt angeben .
4. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1 \geq -1 \end{eqnarray*}$

vielen Dank, URL. Hab für die Mitternachtsformel nun folgendes raus: $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1+y} \end{eqnarray*}$

Kann ich es dann wie folgt argumentieren?
$\begin{eqnarray*} \forall y \in \mathbb R < -1 : f(x) \neq y \end{eqnarray*}$

oder für
$\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} : x \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$

10.08.2023, 13:04

HAL 9000

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Also wenn du schon rein symbolisch argumentieren willstr, dann doch bitte richtig, z.B.

$\begin{eqnarray*} \forall y\in (-\infty,-1)~ \forall x\in\mathbb{R}: f(x)\neq y \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \forall y\in (-\infty,-1)~ \not\exists x\in\mathbb{R}: f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Wobei zur Ablehnung der Surjektivität bereits reichen würde: $\begin{eqnarray*} \not\exists x\in\mathbb{R}: f(x)=-2 \end{eqnarray*}$ .

10.08.2023, 14:36

Evelyn2003

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Zitat:

Original von HAL 9000
Also wenn du schon rein symbolisch argumentieren willstr, dann doch bitte richtig, z.B.

$\begin{eqnarray*} \forall y\in (-\infty,-1)~ \forall x\in\mathbb{R}: f(x)\neq y \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \forall y\in (-\infty,-1)~ \not\exists x\in\mathbb{R}: f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Wobei zur Ablehnung der Surjektivität bereits reichen würde: $\begin{eqnarray*} \not\exists x\in\mathbb{R}: f(x)=-2 \end{eqnarray*}$ .

Ich danke euch beiden! smile

smile

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