Der Primzahlsatz und seine Bedeutung

10.08.2023, 19:06

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Primzahlsatz und seine Bedeutung

Hallo zusammen,

wie ihr wisst, beschäftige ich mich ja aktuell mit Proth'schen Zahlen $\begin{eqnarray*} h\cdot 2^k+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h<2^k \end{eqnarray*}$ ungerade.
Nun wollte ich gerne deren Dichte untersuchen. Dazu habe ich mich mit dem Primzahlsatz auseinandergesetzt, aber richtig verstanden habe ich seine Bedeutung vielleicht noch nicht.

Die Aussage ist ja $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich also annähernd wissen möchte, wieviele Primzahlen es bis $\begin{eqnarray*} 10^6 \end{eqnarray*}$ gibt, kann ich also $\begin{eqnarray*} \frac{10^6}{\ln(10^6)} \end{eqnarray*}$ berechnen. Laut Wikipedia bekomme ich dann aber 6.116 zuwenig, also eine Abweichung von $\begin{eqnarray*} \frac{6116}{78498}\approx 7,8\% \end{eqnarray*}$ .
Rechne ich nun das ganze für $\begin{eqnarray*} 10^7 \end{eqnarray*}$ , erhalte ich eine Abweichung von $\begin{eqnarray*} \frac{44158}{664579}\approx 6,7\%. \end{eqnarray*}$ .
Je höher ich nun das Argument wähle, desto geringer wird meine Abweichung.
Habe ich das richtig verstanden?

Nun beschäftige ich mich noch mit der Primzahldichte. Diese ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{\pi(x)}{x}. \end{eqnarray*}$ Für sehr großes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dies doch dann ungefähr $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x}{\ln(x)}}{x} = \frac{1}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ . Das sagt mir, dass bei großem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Mittel jede $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ -te Zahl eine Primzahl ist.
Sehe ich das richtig?

Und dann habe ich noch eine Frage. Ich weiß nicht mehr wo ich es gelesen aber, aber man geht wohl davon aus, dass es keine weiteren Fermat-Primzahlen gibt als $\begin{eqnarray*} F_0, F_1, F_2, F_3, F_4 \end{eqnarray*}$ . Denn die Wahrscheinlichkeit, dass nach der sehr großen Lücke die ja dann kommt, doch nochmal eine Primzahl kommt, würde wider der Erwartung gemäß dem Primzahlsatz sprechen.
Ich verstehe nicht, was damit genau gemeint ist. Es könnte doch sein, dass ab einem bestimmen x erstmal sehr viele Fermat-Primzahlen kommen, sodass sich das ganze dann wieder dem logarithmischen Wachstum annähert, sich quasi "erholt".
Wo habe ich da zu naiv gedacht?

Danke für's Lesen smile

smile

10.08.2023, 20:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Wiki-Artikel zum Thema ist von $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 5\leq n\leq 32 \end{eqnarray*}$ bekannt, dass es keine Primzahlen sind.

Von nun an heuristisch: Wenn wir die Frage " $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ prim" für $\begin{eqnarray*} n\geq 33 \end{eqnarray*}$ als Zufallsereignis $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ betrachten (was es genau genommen natürlich nicht ist), dann bekommen wir laut Primzahlsatz

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcup_{n=33}^{\infty} A_n\right) \leq \sum_{n=33}^{\infty} P\left(A_n\right) \approx \sum_{n=33}^{\infty} \frac{3}{\ln\left(F_n\right)} \approx \frac{3}{\ln(2)}\cdot \sum_{n=33}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{3}{\ln(2)\cdot 2^{32}}\approx 10^{-9} \end{eqnarray*}$

als obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, für $\begin{eqnarray*} n\geq 33 \end{eqnarray*}$ noch irgendeine Primzahl $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ zu finden.

P.S.: Ich habe Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ genommen, weil garantiert $\begin{eqnarray*} F_n\equiv 5\bmod 6 \end{eqnarray*}$ gilt, und da von den 6 Restklassen modulo 6 allenfalls die zwei Restklassen 1 und 5 dort "oben" noch Primzahlen enthalten können, verteilt sich die Wkt-Masse entsprechend auf die beiden.

10.08.2023, 20:37

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr interessant HAL, vielen Dank dafür Freude

Freude

Die Betrachtung als Zufallsereignis und die Berechnung finde ich sehr interessant. Und ich denke, die Anwendung des Primzahlsatzes habe ich hier auch nachvollzogen. Meine Erklärung dazu:
Wir gehen nach Primzahlsatz davon aus, dass sich zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ etwa $\begin{eqnarray*} \frac{F_n}{\ln(F_n)} \end{eqnarray*}$ Primzahlen befinden. Die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ also eine Primzahl ist, beträgt demnach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(F_n)} \end{eqnarray*}$ (Hier konntest du aufgrund der Restklassenbetrachtung die Wkt sogar verdreifachen).

Ich tue mir ja sonst mit "heuristischen" Untersuchungen gerne schonmal schwer, aber das hier fand ich wirklich eine sehr tolle Anwendung smile

smile

Ich werde bestimmt nochmal mit einigen Anmerkungen hier rein kommen, wenn ich fertig programmiert habe. Ich würde mich freuen, wenn du und alle anderen nochmal reinschaut smile

smile

11.08.2023, 07:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine ähnliche Betrachtung bei Mersennezahlen $\begin{eqnarray*} M_p = 2^p-1 \end{eqnarray*}$ (für die übrigens $\begin{eqnarray*} \equiv 1\bmod 6 \end{eqnarray*}$ gilt, zumindest für alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p\geq 3 \end{eqnarray*}$ ) ergibt für die Primzahlfolge $\begin{eqnarray*} \left(p_n\right) \end{eqnarray*}$ und Ereignis $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ "Mersennezahl $\begin{eqnarray*} M_{p_n} \end{eqnarray*}$ ist prim"

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=n_0}^{\infty} P\left(A_n\right) \approx \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{3}{\ln\left(M_{p_n}\right)} \approx \frac{3}{\ln(2)}\cdot \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{p_n} = \infty \end{eqnarray*}$ .

Unter der zusätzlichen Annahme, dass die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ zumindest paarweise unabhängig sind, liefert dann das Borel-Cantelli-Lemma die Aussage, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele der Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ eintreten, d.h. es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

Genau wie bei dern Fermatzahlen ist aber auch dies nur eine heuristische Plausibilitätsbetrachtung, kein mathematischer Beweis.

11.08.2023, 09:06

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

HAL, ich danke dir vielmals für deine Mühen. Das Lemma werde ich gleich mal in Wikipedia nachschlagen und bin gespannt. Deine Ausführungen habe ich aber verstanden Freude

Freude

Ich habe mir überlegt, ob man nicht auch den Spieß rumdrehen kann.
Sei $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ das Ereignis " $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist Primzahl."
Dann ist
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup\limits_{n=n_0}^{\infty}A_n\right) \leq \sum\limits_{n=n_0}^{\infty} P(A_n) = \sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} n_0>1. \end{eqnarray*}$

Angenommen, diese Reihe würde konvergieren gegen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Dann könnte ich (da log streng monoton steigend ist) doch einfach das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hochschrauben und damit aus der oben gezeigten Reihe endlich viele Folgenglieder entfernen. Ich könnte also $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig weit unterschreiten.

Hm, nein, Moment, beim zweiten Nachdenken bin ich dann doch skeptisch. Ich wollte jetzt darauf hinaus, dass ich aufgrund des Wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt darauf schließen kann, dass diese Reihe bestimmt divergiert gegen $\begin{eqnarray*} \infty. \end{eqnarray*}$ . Aber so ganz bin ich jetzt nicht mehr davon überzeugt verwirrt

verwirrt

(Auch wenn ich weiß, dass die Reihe divergiert).

11.08.2023, 10:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Divergenz dieser Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)} \end{eqnarray*}$ macht heuristisch plausibel, dass unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Primzahlen sind. Aber das hat man bei dieser Aussage nicht nötig, da es dafür den "echten" Euklid-Beweis gibt.

Anzeige

12.08.2023, 19:22

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mich gestern gar nicht mehr für die Antwort bedankt, HAL. Danke für deine Zeit! smile

smile

13.08.2023, 08:37

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Und da bin ich nochmal, schönen Sonntag an alle Wink

Wink

Mir ist gestern auf einer langen Zugfahrt noch etwas eingefallen.
Sagen wir, ich betrachte für eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Menge natürlicher Zahlen $\begin{eqnarray*} \{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$ . Nun möchte ich deren Primzahldichte bestimmen.
Das ginge ja dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi(n)}{n} \end{eqnarray*}$ . Klar, Anzahl der Primzahlen durch gesamte Anzahl.
Aber warum mache ich das bei reellem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} \frac{\pi(x)}{x}? \end{eqnarray*}$ Gut, in dem Falle ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Länge des Intervall $\begin{eqnarray*} (0, x] \end{eqnarray*}$ , aber man würde doch die Primzahldichte ohnehin nur auf den natürlichen Zahlen in diesem Intervall betrachten. Und das wären doch $\begin{eqnarray*} \lfloor x-1 \rfloor \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Ach, und nochmal zur logarithmischen Verteilung.
Sagen wir, ich möchte wissen, wieviele Primzahl "in etwa" von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 10^{10} \end{eqnarray*}$ vorkommen. Nach dem Primzahlsatz ist ja zumindest $\begin{eqnarray*} \frac{10^{10}}{\log(10^{10})} \end{eqnarray*}$ eine erste Näherung.
Aber was ist, wenn ich mir die Menge $\begin{eqnarray*} \{10^8+1, 10^8+2, \dots, 10^9\} \end{eqnarray*}$ anschaue. Ich könnte ja nun erstmal davon ausgehen, dass auch die Verteilung im Mittel logarithmisch ist. Also könnte ich doch auch davon ausgehen, dass ich in diesem Intervall $\begin{eqnarray*} (10^9-10^8)\cdot\log(10^9-10^8) \end{eqnarray*}$ Primzahlen finde?
Leider ist diese Zahl um den Faktor 100 zu groß verwirrt

verwirrt

Liegt das daran, dass das Intervall einfach noch zu klein ist?

Ist das eine richtige Interpretation des Primzahlsatzes?

Edit:
Ach nein Hammer

Hammer

Ich müsste doch rechnen
$\begin{eqnarray*} \frac{10^9}{\log(10^9)} - \frac{10^8}{\log(10^8)} \end{eqnarray*}$ und damit komme ich in der Tat sehr nah an die richtige Anzahl.

16.08.2023, 11:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir statt $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ dessen Approximation $\begin{eqnarray*} p(x) = \frac{x}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ betrachten, so könnte man als näherungsweise Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ (im Sinne $\begin{eqnarray*} \pi(b)-\pi(a) \approx \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ) die Ableitung $\begin{eqnarray*} p'(x) \end{eqnarray*}$ dieser Approximationsfunktion ansehen. Mit $\begin{eqnarray*} \ln\left(p(x)\right) = \ln(x)-\ln\left(\ln(x)\right) \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} \frac{p'(x)}{p(x)} = \left[ \ln\left(p(x)\right) \right]' = \frac{1}{x} - \frac{1}{x\ln(x)}\approx \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ,

d.h. dann $\begin{eqnarray*} p'(x) \approx \frac{p(x)}{x}\approx \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ für diese großen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Ich spreche aber bewusst nicht von $\begin{eqnarray*} \pi'(x) \end{eqnarray*}$ , da es sich bei $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ um eine unstetige Funktion handelt, die jeweils an den Primzahlstellen um 1 nach oben springt und in den Intervallen zwischen aufeinander folgenden Primzahlen dann konstant ist - für so eine Funktion macht die wirkliche Ableitung keinen Sinn.

16.08.2023, 11:39

G160823

Auf diesen Beitrag antworten »

Frage:
Wie kommt man drauf, dass man mit diesen Formeln Primzahlen abschätzen kann?
Was ist der Grundgedanke?

17.09.2023, 12:38

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

HAL, ich hatte leider den Thread hier aus den Augen verloren und daher deine Antwort erst gerade gesehen. Diese hat mir wieder mal sehr geholfen, insbesondere hab ich über den Begriff der "Dichte" nochmals mehr gelernt.

Vielen Dank smile

smile

17.09.2023, 15:54

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von G160823
Frage:
Wie kommt man drauf, dass man mit diesen Formeln Primzahlen abschätzen kann?
Was ist der Grundgedanke?

Zur Geschichte kann Wikipedia etwas sagen: https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz#Geschichte. Legendre und Gauß, um 1800, hatten die ersten Ideen dazu. Auf gute Ideen kommt nicht jedermann sondern nur sehr wenige Menschen, die sich intensiv und lange mit diesen Themen auseinandersetzen. Deren Gehirn funktioniert so ähnlich wie unseres, nur besser, deshalb haben wir viele Fragen und keine Antworten und keine Ideen. Von Gauß weiß ich aus seiner Biografie, dass er Primzahltafeln und Logarithmentafeln miteinander verglichen hatte und daraufhin seine Vermutung aufgestellt hat.

12.03.2024, 10:31

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Von Gauß weiß ich aus seiner Biografie, dass er Primzahltafeln und Logarithmentafeln miteinander verglichen hatte und daraufhin seine Vermutung aufgestellt hat.

Welche Biografie ist das genau, Elvis?

12.03.2024, 11:50

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Hubert Mania "Gauß - Eine Biographie" rororo 2008. https://www.amazon.de/Gau%C3%9F-Eine-Bio...a/dp/3498045067

12.03.2024, 14:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

War zwar jetzt nicht die Frage, aber ich hab oben nochmal drüber geschaut und würde inhaltlich ergänzen:

Soweit ich in Erfahrung gebracht habe, ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Li}(x) = \int\limits_2^x \frac{\dd t}{\ln(t)} \end{eqnarray*}$ eine sehr viel bessere Näherung von $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ .

In dem Lichte betrachtet folgt - wenn man das als näherungsweise Dichte ansieht - $\begin{eqnarray*} \operatorname{Li}'(x) = \frac{1}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ sogar direkt.

12.03.2024, 15:28

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr zwei,

vielen Dank für eure Antworten. Das Buch habe ich mir schon bestellt, für nach der Abgabe meiner Arbeit Big Laugh

Big Laugh

HAL, dir nochmal danke für deinen Einwand. Ich komme vor der Abgabe meiner Arbeit nicht mehr dazu, mich tiefer damit zu beschäftigen, aber ich werde das tun, weil es mir den Begriff der Dichte hier wirklich sehr gut nahegebracht hat Freude

Freude

Ich habe dazu noch eine andere Frage (ich hoffe, die ist in diesem Thread noch richtig aufgehoben).

Ich möchte ein Zufallsexperiment machen. Ich habe die natürlichen Zahlen von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 10^k \end{eqnarray*}$ und möchte nun $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal Ziehen mit Zurücklegen.
Nun möchte ich den Erwartungswert bestimmen, wie oft ich eine Primzahl ziehe.

Ich würde doch sagen, das ist (mit der "weniger guten Schätzung") $\begin{eqnarray*} n\cdot \frac{1}{\log(10^k)} \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich habe nämlich diesen python-Code hier geschrieben:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:

import random, gmpy2

rounds = 10**7
limit = 10**6
counter = 0


for _ in range(0, rounds):
    n = random.randrange(1, limit+1)
    if gmpy2.is_prime(n):
        counter += 1
erg1 = rounds / math.log(limit)
print(f"Wir erwarten {erg1}")
print(f"Und wir bekommen {counter}")

Für $\begin{eqnarray*} 10^7 \end{eqnarray*}$ Runden erwarte ich doch $\begin{eqnarray*} 723.824 \end{eqnarray*}$ Treffer, habe aber immer gut $\begin{eqnarray*} 60.000 \end{eqnarray*}$ mehr.
Ist meine Vermutung einfach falsch?
Oder liegt das daran, dass die Dichte, insbesondere in diesem kleinen Intervall, einfach nicht gut genug ist?
(In der Tabelle bei Wikipedia) ist man bei dieser Größenordnung ja auch 8,4% drüber.

14.03.2024, 09:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt ist dieser Erwartungswert gleich $\begin{eqnarray*} E_{n,k}:=n\cdot \frac{\pi\left(10^k\right)}{10^k} \end{eqnarray*}$ , was mit $\begin{eqnarray*} \pi(x)\approx \frac{x}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ ungefähr $\begin{eqnarray*} \frac{n}{k\cdot \ln(10)} \end{eqnarray*}$ entspricht, ja.

Aber wie du schon richtig drauf verwiesen hast, mag $\begin{eqnarray*} \pi(x)\approx \frac{x}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ zwar asymptotisch für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ zutreffen, sehr viel genauer für "endliche" $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist aber beispielsweise das von mir ja gerade eben erwähnte $\begin{eqnarray*} \pi(x)\approx \operatorname{Li}(x) \end{eqnarray*}$ . Und mit dem bekommst du Schätzung $\begin{eqnarray*} 10^7 \cdot \frac{\operatorname{Li}\left(10^6\right)}{10^6} \approx 786\,280 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E_{10^7,6}= 784\,980 \end{eqnarray*}$ , was ja schon sehr viel besser (und auch näher an deinen Simulationswerten) aussieht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.03.2024, 20:27

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

HAL, du hast mir wieder mal super geholfen geschockt

geschockt

Ich werde das gleich morgen mal ausprobieren. Würde mich sehr freuen, wenn du nochmal reinschaust smile

smile

Vielen Dank smile

smile

15.03.2024, 07:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten hier schon mal den "Experten" Primetime in punkto Näherungsformeln für $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ . Leider war die Unterhaltung mit ihm etwas schwierig, da er ziemlich stolz darauf war, sich der Formelsprache zu verweigern und seine Berechnungsweisen lieber verbal schilderte (der zusätzlich von ihm reingebrachte Mystizismus machte die Sache leider auch nicht gerade einfacher). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zumindest schien er sich ausgiebig explorativ mit dem Problem Näherung von $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ befasst zu haben.

EDIT: Achso, du warst ja weiter hinten im Thread auch an der Unterhaltung beteiligt. Na dann kennst du das ja.

15.03.2024, 08:59

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, an diesen Zahlenwust in den Exceltabellen kann ich mich erinnern Big Laugh

Big Laugh

HAL, ich habe nochmal wegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{Li}(x) \end{eqnarray*}$ überlegt.
ich will einfach mal kurz schildern was ich überhaupt mache. Ich möchte die Verteilung der Proth'schen Primzahlen untersuchen.
Dazu habe ich mir die Anzahl angeschaut an Proth'schen Primzahlen bis $\begin{eqnarray*} 10^1, 10^2 \dots 10^9 \end{eqnarray*}$ und jeweils dividiert durch die Anzahl an Proth'schen Zahle (deren Formel ich ja mit deiner ausgiebigen Hilfe im anderen Thread bekommen habe).
Ich habe festgestellt, dass sich dieses Verhältnis sehr stark $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ nähert, aber sogar etwas höher liegt (siehe Experiment). Also habe ich darauf geschlossen, dass die Proth'schen Primzahlen in der Proth'schen genau so verteilt sind wie die Primzahlen in den natürlichen Zahlen. Den Faktor kann ich mir dadurch erklären, dass Proth'sche Zahlen ungerade sind. Und in den ungeraden natürlichen Zahlen finde ich natürlich doppelt so oft eine Primzahl wie in den natürlichen Zahlen.

Jetzt habe ich mich gefragt, ob ich folgendes sagen kann:
Sei $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Proth'schen Primzahlen kleinergleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Ich gehe heuristisch davon aus, dass die Proth'schen Primzahlen innerhalb der Proth'schen Zahlen der selben Verteilung unterliegen, wie ich es bei Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen erwarten würde. Dies weiß ich durch den Primzahlsatz. Daher gilt auch $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \rightarrow \operatorname{Li}(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich probiere das jetzt mal programmiertechnisch aus. Ist mein Ansatz denn so ok? Ist das nachvollziehbar? (Ich forsche gerade zum ersten Mal selbständig und bin um jedes Feedback dankbar smile

smile

)

15.03.2024, 09:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malcang
Sei $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Proth'schen Primzahlen kleinergleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Ich gehe heuristisch davon aus, dass die Proth'schen Primzahlen innerhalb der Proth'schen Zahlen der selben Verteilung unterliegen, wie ich es bei Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen erwarten würde. Dies weiß ich durch den Primzahlsatz. Daher gilt auch $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \rightarrow \operatorname{Li}(x) \end{eqnarray*}$ .

Nach deinen vorgenannten Überlegungen hätte ich eher folgendes vermutet: Ist $\begin{eqnarray*} N(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Proth'schen Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ , dann gilt (für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{N(x)}\approx \frac{2\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ,

mit Näherung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Li}(x) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} \pi_P(x)\approx \frac{2N(x)}{x}\cdot \operatorname{Li}(x) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

15.03.2024, 09:46

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke die vielmals das du mich hier weiterbringst, HAL.
Ich glaube ich sehe auch wie ich das angehen sollte.

Darf ich dir und euch einmal zeigen was ich bisher geschrieben habe? Gerne würde ich das nämlich mit eurer hilfe hier weiterführen.
[attach]57638[/attach]

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Proth'schen Zahlen, deren Formel wir ja entwickelt haben und $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ ist der natürliche Logarithmus.
Wenn ich den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{\frac{\mathcal{S}(x)}{\log(x)}} \end{eqnarray*}$ betrachte, dann scheint der für wachsendes x gegen 2 zu gehen.

Nun müsste ja der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\pi_P(x)}{\mathcal{S}(x)}}{\frac{\pi(x)}{x}} \end{eqnarray*}$ auch gegen 2 gehen.

python liefert mir:

Zitat:

Bis 10^7.0 gibt es 4488 Proth'sche Zahlen
Davon sind 651 Proth'sche Primzahlen
Bis 10^7.0 gibt es 664579 Primzahlen
pi_P(x) / ( S(x) / log(x)) = 2.337985799637671
(pi_P(x) / S(x)) / ( pi(x) / log(x)) = 2.1826370670127835

Das sieht doch nun wirklich sehr stark danach aus, dass "unsere" Vermutung stimmt, HAL.

Ist das die richtige Art, wie ich da rangehen kann?
Dann forsche ich jetzt mal mit Li weiter.

15.03.2024, 10:38

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun mit python folgende Tabelle erstellt. Leider kann ich hier keine erstellen (geht das nicht?)

Ich habe die Werte $\begin{eqnarray*} \mathcal{S}(n), \pi_P(n), \frac{\pi_p(n)}{\mathcal{S}(n)} \cdot (\frac{\pi(n)}{n})^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi_p(n)}{\mathcal{S}(n)} \cdot (\frac{\operatorname{Li}(n)}{n})^{-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 10^1, 10^2, \dots 10^7 \end{eqnarray*}$ berechnet.
Letztere beiden gehen gegen zwei, der letzte ein ganz klein wenig schneller (bei 10^7 erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2,183 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2,182 \end{eqnarray*}$ ).

Das sieht doch ganz stark danach aus, dass ich die Anzahl der Proth'schen Primzahlen so abschätzen kann, wie du mir gezeigt hast, HAL. geschockt

geschockt

Edit:
Sei $\begin{eqnarray*} \operatorname{Li}_p(n) = 2\cdot \frac{\mathcal{S}(n)}{n}\cdot\operatorname{Li}(n) \end{eqnarray*}$ .
Es scheint, als ob der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi_p(n)}{\operatorname{Li}_p(n)} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ geht.

Allerdings liefert mir die Formel immer etwas zuwenige Proth'sche Primzahlen, obwohl er ja bei Primahlen anfangs zuviel liefert verwirrt

verwirrt

15.03.2024, 16:53

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

So, also ich habe mich damit beschäftigt.
Wir nehmen also an: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi_p(x)}{\mathcal{S}(x)}\approx 2\¢dot\frac{\operatorname{Li}(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt habe ich folgendes Experiment:
Ich habe die Proth'schen Zahlen bis $\begin{eqnarray*} 10^8 \end{eqnarray*}$ bestimmt und wähle nun zufällig welche aus, Ziehen mit Zurücklegen. Das ganze geht $\begin{eqnarray*} 10^8 \end{eqnarray*}$ Runden.
Dann erwarte ich an Treffern (=Primzahlen): $\begin{eqnarray*} 10^8 \cdot 2\cdot \frac{\operatorname{Li}(10^8)}{10^8} \approx 11.524.416 \end{eqnarray*}$ .
Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 12.412.105 \end{eqnarray*}$ .

Gar nicht schlecht , oder? geschockt

geschockt

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »