Bilinearform

12.08.2023, 07:04

Samsara

Bilinearform

Folgendes Beispiel $\begin{eqnarray*} \beta : \mathbb{R} x \mathbb{R}--> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \beta ( \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=x_{1}y_{2}+x_{3}y_{3} \end{eqnarray*}$ .

Da es sich ja bei der Bilinearform auch um ein Kreuzprodukt handelt, ist mir dieses Ergebnis nicht verständlich, denn wenn ich ein Vektorkreuzprodukt berechne, zugegeben, keine Bilinearform, dann ist das Ergebniss wie folgt:

$\begin{eqnarray*} x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{2}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \end{eqnarray*}$ Mir ist jetzt zwar klar, dass das falsch ist. Ich weiß aber nicht, wie und warum es falsch ist.

12.08.2023, 09:08

Elvis

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Wo ist das Problem? Es handelt sich offensichtlich um eine Form, also um eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ in den Grundkoerper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es genügt, die Linearitaet im ersten und zweiten Argument zu zeigen. Ob und welche anderen Produkte es noch gibt, ist dabei nicht wichtig. (Wenn ich recht erinnere, ist das Kreuzprodukt ein Vektor und kein Skalar, also bestimmt keine Bilinearform.)

12.08.2023, 11:27

Samsara

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Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} x_{1}y_{2}+x_{3}y_{3} \end{eqnarray*}$ muss wohl eine Bilinearform sein, wie auch der folgende Rechenforgang $\begin{eqnarray*} \beta ( \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix})=1*5+3+6=23 \end{eqnarray*}$ . Warum kommt hier in dieser Rechnung die 2 und die 4 nicht vor. Ich weiß es einfach nicht. Und die Tatsache, dass ich mir das nicht erklären kann, ist mein Problem.

12.08.2023, 12:29

Elvis

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Ob diese Abbildung bilinear ist oder nicht, musst du nachrechnen, was du bisher nicht getan hast. Es muss in der Beispielrechnung nichts bestimmtes vorkommen, denn auch die Nullabbildung N ist wegen N(a*x+b*y,z)=0=0+0=a*0+b*0=a*N(x,z)+b*N(y,z) linear im ersten Argument, ebenso im zweiten Argument, also für jeden Vektorraum eine Bilinearform.

12.08.2023, 13:47

Samsara

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Das kann ich nicht, weil ich nicht weiß wie das geht. Ein Vektorkreuzprod stellen dieser konkreten Zahlen nicht dar, denn dann sehe es wie folgt aus $\begin{eqnarray*} \beta ( \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix})= \begin{pmatrix}2*6-3*5\\3*4-1*6\\1*5-2*4\end{pmatrix}=12-15+12-6+5-8 \end{eqnarray*}$

Und das ist ein Vektorkreuzprodukt, aber ganz offensichtlich nicht diese Bilinearform, die mir in diesem Fall ein Betreuer von der Fernuni Hagen so aufgeschrieben hat, eben als konkretes Beispiel. Da mir aber nicht klar ist, wie man genau eine Bilinearform errechnet, kann ich es nicht überprüfen, ob das stimmt, obwohl ich davon ausgehe, dass es richtig ist. Ich hoffe, dass mein Problem jetzt klar geworden ist. Ich weiß nicht genau, wie die Bilinearform berechnet wird, außer dass das etwas mit dem Vektorkreuzprodukt zu tun hat.

12.08.2023, 18:12

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Zitat:

Original von Samsara
$\begin{eqnarray*} \beta ( \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix})= \begin{pmatrix}2*6-3*5\\3*4-1*6\\1*5-2*4\end{pmatrix}=12-15+12-6+5-8 \end{eqnarray*}$

das letzte Gleichheitszeichen ist schlichtweg falsch. Links davon steht ein Vektor des R^3, rechts davon eine Zahl.

12.08.2023, 18:52

Samsara

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Da muss eine 8 stehen, dass ist schon klar. Aber darum ging es mir hier garnicht. Ich hatte eigentlich gehoft, dass mir jemand hier hilft, wie ich im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform zustande bringe. Und zwar anhand des Beispiels, dass ich hier zu Begin unter "Bilinearfom" auch beschrieben habe. Denn aktuell ist mir das noch nicht klar.

12.08.2023, 19:30

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Du hast das eigentliche Problem deiner Gleichung nicht verstanden
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2*6-3*5\\3*4-1*6\\1*5-2*4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12-15+12-6+5-8 \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl. Die beiden können nicht gleich sein!

Zitat:

Ich weiß nicht genau, wie die Bilinearform berechnet wird, außer dass das etwas mit dem Vektorkreuzprodukt zu tun hat.

Das stimmt auch nicht. Bilinearform und Vektorkreuzprodukt haben nichts miteinander zu tun. Bei einer Bilinearform ist das Ergebnis eine Zahl. Beim Vektorkreuzprodukt ist das Ergebnis ein Vektor.

Bei deinem Beispiel
$\begin{eqnarray*} \beta ( \begin{pmatrix}{\textcolor\red{ x_{1}}}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}y_{1}\\{\textcolor\green{y_{2}}}\\y_{3}\end{pmatrix}={\textcolor\red{ x_{1}}}{\textcolor\green{y_{2}}}+x_{3}y_{3} \end{eqnarray*}$
steht die Berechnungsvorschrift explizit auf der rechten Seite:
(Erste Komponente des ersten Vektors multipliziert mit der zweiten Komponente des zweiten Vektors) + .... den Rest kannst du jetzt bestimmt selber ergänzen

13.08.2023, 07:44

Elvis

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@Samsara
Am Beispiel der Nullabbildung N habe ich dir gezeigt, wie man beweisen kann, dass eine Form eine Bilinearform ist. Genau das musst du für die Form $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ machen. Eine Form ist genau dann eine Bilinearform, wenn sie bilinear ist. Eine Form ist genau dann bilinear, wenn sie in beiden Argumenten linear ist. Und noch einmal : Eine Form ist kein Vektorprodukt, weil das Bild eines Vektorproduktes ein Vektor ist, und ein Vektor ist kein Skalar.

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