Zetafunktion - Seite 2

18.08.2023, 11:13

Steffen Bühler

Zitat:

Original von IfindU
In dem Fall wird der Nenner 0 und wir haben ein Problem.

Hoppla, da hab ich nicht richtig hingeschaut, stimmt.
Danke auch für die weiteren Erläuterungen. Ab hier halte ich mich ohnehin besser raus.

Viele Grüße
Steffen

PS: Willkommen im Board, regxy!

18.08.2023, 16:55

regxy

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Zitat:

Original von IfindU
@Steffen: In dem Fall wird der Nenner 0 und wir haben ein Problem. Das tritt aber nie ein, denn $\begin{eqnarray*} | p^{x +iy} | = |p|^x \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} |p^{0.5 + iy}| =\sqrt p \end{eqnarray*}$ .

wieso betrachtest du hier die Beträge $\begin{eqnarray*} | p^{x +iy} | \end{eqnarray*}$ ? In der Euler-Formel stehen doch gar keine Betragszeichen: inwiefern ist dann $\begin{eqnarray*} |p^{0.5 + iy}| =\sqrt p \end{eqnarray*}$ von Interesse?

18.08.2023, 17:59

IfindU

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Beträge sind praktisch, wenn man überprüfen möchte, ob eine Folge komplexer Zahlen gegen 0 konvergiert, denn $\begin{eqnarray*} z \to 0 \iff |z| \to 0 \end{eqnarray*}$ . Und da Beträge multiplikativ sind, haben wir
$\begin{eqnarray*} \left | \prod \frac 1 { 1 - \frac 1 {p^z} } \right | = \prod \left | \frac 1 { 1 - \frac 1 {p^z} } \right | \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \frac 1 { 1 - \frac 1 {p^z} } = \frac {p^z} { p^z -1 } \end{eqnarray*}$ haben wir also $\begin{eqnarray*} \left | \prod \frac 1 { 1 - \frac 1 {p^z} } \right |= \prod \left | \frac {p^z} { p^z -1 } \right | = \prod \frac {\left |p^z\right |} { \left |p^z -1\right | } \end{eqnarray*}$ .

Und hier sieht man im Zähler nun einen Betrag wie ich ihn erwähnte. Wichtig war mir, dass der Zähler in der letzten Form eben für $\begin{eqnarray*} Re(z) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\to\infty \end{eqnarray*}$ ebenfalls divergiert. Im Nenner ist es auch der Fall, aber hier ist eben interessant inwieweit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ das Wachstum bremst oder erhöht (z.B. bei $\begin{eqnarray*} p^z \end{eqnarray*}$ negativ (reell) ist $\begin{eqnarray*} |p^z| < |p^z - 1| \end{eqnarray*}$ während bei $\begin{eqnarray*} p^z \end{eqnarray*}$ positiv es genau umgekehrt ist: $\begin{eqnarray*} |p^z| > |p^z - 1| \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, ein subtiles Problem.

18.08.2023, 18:17

regxy

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ok, danke!
An den Nullstellen für x=0,5 scheint es ja nun gegen 0 zu konvergieren, und in der näheren Umgebung scheint die Reihe gegen andere Werte zu konvergieren, wenn ich es recht verstehe, was aber wohl für die Riemann-Vermutung nicht sonderlich wichtig ist.

Wie verstehst du also den Zusammenhang der Nullstellen bei (0,5+ iy) (mit passenden y) mit der Riemann-Hypothese?

18.08.2023, 18:51

IfindU

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Ich verstehe es ehrlich gesagt gar nicht. Ich habe den Wikipedia-Artikel überflogen. Die ganze analytische Zahlentheorie ist mit nicht ganz geheuer...

19.08.2023, 05:24

Elvis

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Ohne analytische Zahlentheorie, speziell die Einsicht von Gerhard Frey in den Zusammenhang von elliptischen Funktionen und dem großen Fermat sowie der Tanijama-Shimura Vermutung, betreffend elliptische Funktionen und Modulformen, hätte Andrew Wiles keinen Erfolg haben können, denn mit algebraischer Zahlentheorie haben wir das Problem nicht gelöst.
Gerade die erstaunlichen, unerwarteten und tiefliegenden Zusammenhänge zwischen Algebra und Funktionentheorie haben im 20. Jahrhundert die moderne Zahlentheorie einschließlich der p-adischen Zahlen hervorgebracht. Hasse war ein genialer Algebraiker und ebenso genialer Analytiker.
Wir hoffen, dass eines Tages ebensolche Genies die Riemannsche Vermutung angreifbar machen und beweisen oder widerlegen, dass die nichttrivialen Nullstellen nicht nur im kritischen Streifen sondern auf der kritischen Linie Re(s) =1/2 liegen. Die Folgerungen wären mannigfaltiger als bei Fermat.

19.08.2023, 07:47

regxy

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meine Frage war:
was bedeutet es, dass die nicht-trivialen Nullstellen im Streifen von x=0,5 liegen, und was hat das überhaupt mit der Riemannschen Vermutung zu tun...?
oder anders herum:
warum würde eine (theoretisch ggf. noch unentdeckte) Nullstelle (0,6 oder 0,7 oder wo auch immer) auf eine andere statistische Verteilung der Primzahlen hinweisen, was der Riemannschen vermutung dann widerspräche und sie widerlegte?

19.08.2023, 08:31

Elvis

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Die Riemannsche Vermutung sagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen zeta-Funktion auf der kritischen Linie der komplexen Zahlen mit Realteil 0,5 liegen. Was daraus alles folgt, weiß ich auch nicht. Es gibt viele Bücher darüber, wenige Menschen, die diese Bücher verstehen und noch weniger Menschen, die erklären können, was sie verstehen. Tut mir leid, dass ich kein guter Lehrer bin, aber man muss damit leben, dass Menschen nicht allwissend und nicht allmächtig sind. (Der kritische Streifen hat Realteile zwischen 0 und 1, und es ist bewiesen, dass die Riemannsche zeta-Funktion nur dort nichttriviale Nullstellen hat.) Ich habe noch nicht einmal verstanden, ob und warum es keine Nullstelle mit Imaginärteil kleiner als die bekannten nichttrivialen Nullstellen gibt. (Kann das jemand beantworten?)

19.08.2023, 08:48

Steffen Bühler

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Vielleicht doch mal ein Auszug aus dem erwähnten populärwissenschaftlichen Buch:

Zitat:

Wirft man eine Million Mal eine Münze, so sollte man in ungefähr der Hälfte der Fälle «Kopf» und in ungefähr der Hälfte der Fälle «Zahl» erhalten. Doch diese Aufteilung ist nicht unbedingt exakt. Selbst bei einer idealen Münze - die sich wirklich zufällig verhält - wäre man nicht überrascht, wenn es 1000 «Köpfe» mehr oder weniger als die exakte Hälfte 500.000 gibt. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat ein Maß gefunden, wie groß dieser Fehler wirklich sein kann, falls dem Experiment ein Zufallsprozess zugrunde liegt. Wenn die Münze N-mal geworfen wird, weicht das Ergebnis gewöhnlich in die eine oder andere Richtung von 0,5*N ab: Das ist der «Fehler». Diesen Fehler hat man untersucht und festgestellt, dass er für eine ideale Münze von der Größenordnung der Quadratwurzel von N ist. So sollte beispielsweise bei 1.000.000 Würfen einer idealen Münze das Ergebnis für «Kopf» irgendwo zwischen 499.000 und 501.000 liegen (1000 ist die Quadratwurzel von 1.000.000). Bei einer fehlerhaften, «getürkten» Münze würde man jedoch als Fehler einen wesentlich größeren Wert erwarten als die Quadratwurzel von N.
Gauß hatte seine Formel für die Anzahl der Primzahlen nach dem Wurf einer Münze modelliert. Allerdings war die Wahrscheinlichkeit, dass diese Münze beim N-ten Wurf «Kopf» zeigt, nicht 0,5, sondern 1/log(N). Doch ebenso wie bei einer gewöhnlichen Münze nicht immer exakt zur Hälte «Kopf» bzw. «Zahl» herauskommt, führt auch die Primzahlmünze der Natur nicht exakt auf die Anzahl der Primzahlen, die Gauß vorhergesagt hatte. Doch wie sah der Fehler aus? Lag er innerhalb der Grenzen, die man für eine ideale Münze erwarten würde, oder gab es in manchen Zahlenbereichen mehr Primzahlen und in anderen weniger?
Die Antwort hängt mit der Riemannschen Vermutung und ihrer Aussage über die Orte der Nullstellen zusammen. Diese Punkte auf Meereshöhe bestimmen den Fehler in der Gaußschen Formel für die Anzahl der Primzahlen. Jede Nullstelle mit einer Ost-West-Koordinate gleich 0,5 erzeugt einen Fehler gleich der Quadratwurzel von N. Wenn Riemann in Bezug auf die Orte der Nullstellen Recht hatte, dann ist der Fehler zwischen der Gaußschen Formel für die Anzahl der Primzahlen kleiner als N und der wirklichen Anzahl der Primzahlen höchstens von der Ordnung der Quadratwurzel von N. Diesen Fehler würde man auch nach der Wahrscheinlichkeitstheorie für eine ideale Münze erwarten.
Sollte sich die Riemannsche Vermutung jedoch als falsch erweisen, und es gibt Nullstellen weiter östlich der kritischen Geraden, dann erzeugen diese Nullstellen einen Fehler, der größer als die Quadratwurzel von N ist.
In gewisser Hinsicht würde die Münze wesentlich häufiger «Kopf» zeigen, als man es nach der Hälfte-Hälfte-Regel für eine ideale Münze erwarten würde. Sollte die Riemannsche Vermutung falsch sein, wäre die Primzahlmünze nicht fair, und je weiter östlich von der kritischen Geraden sich Nullstellen befinden, umso gefälschter wäre auch die Primzahlmünze.
Eine ideale Münze zeigt auch ideales Zufallsverhalten, während man bei einer fehlerhaften Münze gewisse Muster erkennen würde. Die Riemannsche Vermutung bringt daher zum Ausdruck, weshalb die Verteilung der Primzahlen so zufällig erscheint. Dank einer brillanten Einsicht hatte Riemann diese Zufälligkeit auf den Kopf gestellt und eine Beziehung zwischen den Nullstellen in seiner Landschaft und den Primzahlen hergestellt. Will man beweisen, dass die Primzahlen wirklich zufällig verteilt sind, muss man auf der anderen Seite von Riemanns Spiegel beweisen, dass die Nullstellen sich genau auf der kritischen Geraden befinden.

19.08.2023, 10:41

regxy

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Zitat:

Gauß hatte seine Formel für die Anzahl der Primzahlen nach dem Wurf einer Münze modelliert.

Nach dem Primzahlsatz von Carl Friedrich Gauß gilt, soweit ich weiß, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner sind als eine Zahl n, ungefähr gleich n geteilt durch den Logarithmus von n ist.

Wie aber ist hier im Artikel die Wahrscheinlichkeit zu verstehen, dass diese "Münze" beim N-ten Wurf «Kopf» zeigt, nicht 0,5, sondern 1/log(N) sei?
Was ist bei Primzahlen mit einem "Wurf" gemeint, und was für ein Ereignis genau tritt hier mit dieser Wahrscheinlichkeit ein, wofür steht dann "Kopf" bei den Primzahlen?

Andererseits scheint es aber doch auch um die Fehlerabschätzung zu gehen, wie sehr der Gaußsche Quozient "daneben liegt" (der Schätzwert für die Anzahl der Primzahlen unter einer Million (1.000.000 / log 1.000.000) ~gleich 72.382; der korrekte Wert ist 78.498).

Weiterhin scheint aber bei den Überlegungen auch eine Rolle zu spielen, ob nun die echte Anzahl von Primzahlen in einer Primzahlzerlegung gerade oder ungerade sei, was schon eher einem Münzwürf gleichkommt, z.B.
n=30=2*3*5=> 3 Faktoren, ungerade
n=31= 1*31 => 1 Faktor, ungerade
n=32=2*2*2*2*2 => 5 Faktoren, ungerade
n=33= 3*11 => 2 Faktoren, gerade
n=34= 2*17 => 2 Faktoren, gerade
n=35= 5*7 => 2 Faktoren, gerade
n=36= 2*2*9 => 3 Faktoren, ungerade
n=37= 1*37 => 1 Faktor, ungerade
n=38= 2*19 => 2 Faktoren, gerade

Um welches Münzwurf-Modell und um welche Ereignisse mit welchen Fehlern und welchen Wahrscheinlichkeiten geht es also genau?

nun zur Zetafunktion, hier wird ja in der Eulerformel nur "willkürlich" mit komplexen Kehrwerten von komplexen Primtzahlexponenten herumgerechnet (von 1 subtrahiert, wieder Kehrwert, aufmultipliziert...);

auf welche Ereignisse/Experimente/Münzwürfe bezieht sich die Zetafunktion, wenn/wo sie eine nicht-triviale Nullstelle hat, d.h. welches Ereignis tritt bei s=(0.5; 14,1347...) ein,
und wie ist das aus der Euler-Formel abzuleiten, dass das irgendetwas (und was genau) mit Primzahlen und ihrer Abfolge/Anordung in Z -> unendlich zu tun hat?

19.08.2023, 12:09

regxy

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PS,
fand hier gerade noch eine andere Formulierung original von Rieman über eine Xi-, Gamma- und Zeta-Funktion:
Man findet die Original-Formulierung von Riemanns Vermutung in seinem Beitrag
„Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gro¨sse“ in den Monatsberich-
ten der Berliner Akademie vom November 1859 (siehe [8], p. 180). Nach Einfu¨hrung
der Funktion
¾(t) = À−s(t)/2“(s(t)/2)(s(t) − 1)¶(s(t))
mit s(t) = 1/2+it bemerkt Riemann dort: „Man findet nun in der That etwa soviele reelle
Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell
sind.“
didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/riemann.pdf, S. 94

macht es jetzt aber auch noch nicht signifikant klarer....

(zu blöd, dass das Forum kein utf8 kann, im Editor ist es zunächst noch lesbar - und warum darf ich plötzlich keine Links mehr posten?!?

19.08.2023, 12:22

Elvis

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In s(t)=1/2+it versteht Riemann t als komplexe Variable, die seiner Vermutung nach nur reelle Werte annimmt.

19.08.2023, 12:30

regxy

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...hmmm... wobei aber doch gerade die (bedeutsamen) nichttrivialen Nullstellen gar keine rein reellen Zahlen sind, sondern in der Zetafunktion ja imaginäre Anteile haben, und nur die trivialen sind rein reell.

Trotzdem aber unklar, was das mit der p-Verteilung zu tun hat ....

es wird irgendwie noch nicht klarer...

19.08.2023, 13:33

Elvis

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Riemann wusste, dass der Logarithmus der zeta-Funktion als Integral geschrieben werden kann, dessen Integrand die Primzahl-Funktion $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ enthält. Das ist ein Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen, von denen die letztere ganz sicher mit Primzahlen zu tun hat. Auch das Euler-Produkt zeigt einen Zusammenhang zwischen zeta-Funktion und Primzahlen. Was man daraus lernen und damit machen kann, hängt von jedem einzelnen Mathematiker und dem weiteren Fortschritt der Mathematik ab. Wir wissen noch lange nicht genug, deshalb forschen seit 200 Jahren tausende Menschen an diesem Problem.

19.08.2023, 14:23

regxy

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ja, danke, dass es Zusammenhänge gibt, weil die Primzahlen ja in den Formeln mit vorkommen, verstehe ich schon, nur eben nicht:
was genau kodiert die Zetafunktion durch ihre Summen oder Produkte,
was ist an den Nullstellen so bedeutsam,
und welchen Zusammenhang genau stellt sie her zwischen ihren Nullstellen und welcher Behauptung genau über eine statistische Verteilung der Primzahlen, denn darum geht es doch wohl.

ich hatte es oben ja auch schon etwas ausführlicher angesprochen, zu Steffens Zitat:

Zitat:

dankeschön für das Zitat, ein paar interessante Ideen werden hier schon thematisiert.

Das mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 bei Münzwürfen und mit dem Wurzel-n-Gesetz für den statistischen Fehler bei Münzwürfen ist klar.
Jetzt zunächst zu Gauß:

Wie aber ist das hier gemeint:
Zitat:
Gauß hatte seine Formel für die Anzahl der Primzahlen nach dem Wurf einer Münze modelliert.

Nach dem Primzahlsatz von Carl Friedrich Gauß gilt, soweit ich weiß, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner sind als eine Zahl n, ungefähr gleich n geteilt durch den Logarithmus von n ist.

Wie aber ist hier im Artikel die Wahrscheinlichkeit zu verstehen, dass diese "Münze" beim N-ten Wurf «Kopf» zeigt, nicht 0,5, sondern 1/log(N) sei?
Was ist bei Primzahlen mit einem "Wurf" gemeint, und was für ein Ereignis genau tritt hier mit dieser Wahrscheinlichkeit ein, wofür steht dann "Kopf" bei den Primzahlen?

Andererseits scheint es aber doch auch um die Fehlerabschätzung zu gehen, wie sehr der Gaußsche Quozient "daneben liegt" (der Schätzwert für die Anzahl der Primzahlen unter einer Million (1.000.000 / log 1.000.000) ~gleich 72.382; der korrekte Wert ist 78.498).

Weiterhin scheint aber bei den Überlegungen auch eine Rolle zu spielen, ob nun die echte Anzahl von Primzahlen in einer Primzahlzerlegung gerade oder ungerade sei, was schon eher einem Münzwürf gleichkommt, z.B.
n=30=2*3*5=> 3 Faktoren, ungerade
n=31= 1*31 => 1 Faktor, ungerade
n=32=2*2*2*2*2 => 5 Faktoren, ungerade
n=33= 3*11 => 2 Faktoren, gerade
n=34= 2*17 => 2 Faktoren, gerade
n=35= 5*7 => 2 Faktoren, gerade
n=36= 2*2*9 => 3 Faktoren, ungerade
n=37= 1*37 => 1 Faktor, ungerade
n=38= 2*19 => 2 Faktoren, gerade

Um welches Münzwurf-Modell und um welche Ereignisse mit welchen Fehlern und welchen Wahrscheinlichkeiten geht es also genau?

nun zur Zetafunktion, hier wird ja in der Eulerformel nur "willkürlich" mit komplexen Kehrwerten von komplexen Primtzahlexponenten herumgerechnet (von 1 subtrahiert, wieder Kehrwert, aufmultipliziert...);

auf welche Ereignisse/Experimente/Münzwürfe bezieht sich die Zetafunktion, wenn/wo sie eine nicht-triviale Nullstelle hat, d.h. welches Ereignis tritt bei s=(0.5; 14,1347...) ein,
und wie ist das aus der Euler-Formel abzuleiten, dass das irgendetwas (und was genau) mit Primzahlen und ihrer Abfolge/Anordung in Z -> unendlich zu tun hat?

Ich verstehe auch, dass es nach allem gesagten hier wschl wirklich nicht sehr viele gibt, die das hier echt durchblicken....

19.08.2023, 14:38

Elvis

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Was genau die einzelnen Formeln bedeuten bleibt der Phantasie jedes Menschen überlassen. Es gibt Mathematiker, die damit etwas machen können, und es gibt Menschen, denen dieser Formelkram nichts zu sagen hat. Das alles ist Arbeitsmaterial, man kann damit rechnen und es interpretieren und weiter entwickeln, aber es ist weder eine vollständige Theorie, noch gibt es eine für alle Zwecke gültige Sichtweise auf mathematische Objekte und Strukturen. Es geht in der Mathematik nicht immer um etwas genaues, Mathematik ist eine Art zu denken, zu reden, zu schreiben, zu lernen und zu handeln. Panta rhei, hat Heraklit gesagt, und so werden wir in 150 Jahren mehr wissen als heute, und dann werden wir dir einen Teil deiner Fragen vielleicht beantworten können.

19.08.2023, 15:08

regxy

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zunächst mal wäre ja zu klären, was denn überhaupt die Aussage sein soll über die Primzahlen ("Münzwurf" in Steffens Post), und dann die Beziehung zu den nichttrivialen Nullstellen,
aber ich habe verstanden, dass du es auch nicht weißt Augenzwinkern

19.08.2023, 16:03

Elvis

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Zitat:

Original von regxy
aber ich habe verstanden, dass du es auch nicht weißt

Prima, jetzt verstehen wir uns. Genau das habe ich mit meinen vielen Worten ausdrücken wollen. Vielen Dank, dass du es so schön auf den Punkt bringst. Freude

19.08.2023, 16:52

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Riemann hat eine andere Abschätzung für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Zahl N gefunden.
Dann fand er eine Möglichkeit, den Fehler in seiner Abschätzung zu korrigieren. Die Korrekturterme hängen allerdings von den Nullstellen der zeta- Funktion ab. Kennt man also die Nullstellen, kennt man die Verteilung der Primzahlen.
So jedenfalls verstehe ich das schon erwähnte Buch Die Musik der Prinzahlen

19.08.2023, 17:07

regxy

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mhm, allerdings liegen ja die nichttrivialen Nullstellen nach seiner Vermutung alle bei z=(0,5; y), unterscheiden sich also nur im Imaginärteil y.
Was hat aber der Imaginärteil der Nullstellen mit welcher Abschätzung und welchem Korrekturfaktor genau zu tun?

19.08.2023, 17:20

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Der Realteil einer Nullstelle scheint den Betrag des korrekturterms zu bestimmen, der imaginärteil die Phase. Wie die Korrekturterme im Detail aussehen, weiß ich nicht.

19.08.2023, 17:57

regxy

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das würde ja bedeuten, dass der Korrekturterm ebenfalls konstant ist, denn der Realteil ist ja mit x=0,5 ebenfalls konstant. Interessant wäre dann aber auch, was denn eine "Phase" mit der Verteilung oder der Anzahl von Primzahlen unter einer bestimmten Grenze zu tun hat:
was wäre z.B. bei der Abschätzung
H(p) = n/ln(n) // H: Häufigkeit von Primzahlen unterhalb von einem beliebig großen n
eine Phase?
Und wenn man einen Korrekturfaktor f einführt, etwa
H(p) = n/ln(n)*f
was wäre dann eine Phase?

Wo genau Primzahlen dann aber liegen in sehr großen Zahlenbereichen , wird außerdem sicher nicht vorhersagbar sein, schätze ich...
(z.B. wo genau bzw. wie weit entfernt liegt nach 10223*2^31172165+1 die nächste Primzahl ?)

19.08.2023, 18:05

Elvis

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https://t5k.org/primes/page.php?id=122473
4 Mio Ziffern ist keine große Zahl. Die bekannten Mersenne-Primzahlen sind da schon etwas größer. Richtig große Bereiche sind angesichts der unendlich vielen Primzahlen in den unendlich vielen natürlichen Zahlen beliebig viel größer.

19.08.2023, 18:10

regxy

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mag ja sein, aber es ist wiedermal nur ein #whataboutism.
Auch für 10223*2^31172165+1 wirst du nicht vorhersagen können, wo dann die nächste liegt, auch wenn es natürlich noch viel größere gibt, die Zahl der Primzahlen ist ja unendlich.
Also äußere dich doch bitte nur zu wirklichen Lösungsideen (die du aber nach eigenen Angaben ja selber nicht verstehst, was es zugegebenermaßen schwierig für dich macht)...

19.08.2023, 18:53

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Zitat:

das würde ja bedeuten, dass der Korrekturterm ebenfalls konstant ist, denn der Realteil ist ja mit x=0,5 ebenfalls konstant.

Aber nein. $\begin{eqnarray*} z+1 \end{eqnarray*}$ ist doch auch etwas anderes als $\begin{eqnarray*} z-1 \end{eqnarray*}$ obwohl.1und -1 den gleichen Betrag haben.
Wenn du es so genau wissen willst, ließ RIemanns Artikel, der ist im Wiki Beitrag über Riemann verlinkt. Dort gibt's auch die Darstellung der Zeta Funktion für fast alle komplexen Argumente

19.08.2023, 19:01

regxy

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dann wüsste ich allerdings gern zunächst, wie der Korrekturterm wirklich aussieht und wie er genau mit den nichttrivialen Nullstellen zusammenhängt, um hier weiter überlegen zu können.
Der Wiki-Artikel führt hier nicht weiter, wie schon geschrieben.

19.08.2023, 19:20

Elvis

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Du verlangst zuviel. Die zeta-Funktion ist ausser an der Stelle s=1 eine differenzierbare also insbesondere eine stetige Funktion. Wie ich schon sagte ist sie als Integral über die Primzahlfunktion darstellbar. Die Primzahlfunktion ist eine Treppenfunktion, sie ist an allen Primstellen unstetig. Man sagt "Integration glättet". Daher kann die zeta-Funktion niemals vorhersagen, welche Zahl nach einer Primzahl die nächste Primzahl ist. Sie berechnet nicht Primzahlen, das hat auch niemand versucht, weil Primzahlen prinzipiell nicht berechenbar sind. Nur wenn man wie zum Beispiel in Siebverfahren eine obere Grenze setzt, lassen sich Primzahlen berechnen, die kleiner als die Grenze sind. Riemann war genau wie alle anderen Zahlentheoretiker nur an Aussagen über die unendlich vielen Primzahlen interessiert. Kleinvieh macht auch Mist, aber keine Mathematik.

19.08.2023, 19:44

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Im Aufsatz von Riemann findet man eine $\begin{eqnarray*} \sum^\alpha \end{eqnarray*}$ .

Wenn man die Nullstellen der zeta-Funktion kennt, kennt man nach meinem Verständnis die Primzahlfunktion. Die Primzahlen sind genau die Sprungstellen der Primzahlfunktion

19.08.2023, 19:47

regxy

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Unsinn, ich verlange nicht zuviel, ich gab nur zu bedenken.
Die Idee mit der genaueren Abschätzung stammt ja von url, nicht von mir, dennoch müsste man ihr nachgehen, wenn man genaueres weiß.
Auch ich vermute aber durchaus nicht, dass zeta-Funktion vorhersagen, welche Zahl nach einer Primzahl die nächste Primzahl ist, dennoch ist auch das nur eine Mutmaßung.
Ich selber vermute eher, dass es mehr mit der "zufälligen Verteilung" auf lange Sicht zu tun hat, worauf ja auch die Beschreibung und der Verglich mit Münzwürfen aus Steffens Zitat hindeutet:
An anderer Stelle wird im Zusammenhang mit einer zufälligen Verteilung auch die oben schon erwähnte Gleichverteilung von geraden und ungeraden Anzahlen von Primfaktorzerlegungen der nat. Zahlen erwähnt.

Dennoch ist die Gretchenfrage nach wie vor: was haben zufällige Gleichverteilungen von Primzahlen "auf lange Sicht hin" qualitativ und quantitativ mit komplexen Nullstellen der Zetafunktion zu tun, die dann auch noch ausgerechnet absolut alle (!) einen Realteil von 0,5 haben sollen, und zwar genau dann, wenn Riemanns Vermutung tatsächlich zutrifft?
Dass du, Elvis, das nicht weißt, weiß ich, ich verlange daher auch keine Antwort von dir (ganz im Gegenteil!), aber vlt schaut hier ja mal ein didaktisch versierter Funktionalanytiker vorbei, der das ohne viel Formeltohuwabohu auf den Punkt bringen kann.

19.08.2023, 19:56

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Jetzt mal Butter bei die Fische. Was ist denn dein mathematischer Hintergrund?
Und was ist ein Funktionalanytiker? Der naheliegende Funktionalanalytiker wird hier jedenfalls nichts beitragen, jedenfalls sehe ich nicht, wie er das tun sollte

19.08.2023, 20:03

regxy

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@url:
das klingt interessant, das müsstest du aber mal genauer und fundierter aufdröseln und in Beziehung setzen.

Die Primzahlfunktion f(x) = À(x) ordnet ja jeder natürlichen Zahl x "nur" die Anzahl von Primzahlen zu, die nicht größer ist als x selbst, also im Prinzip etwas wie n/ln(n), nur vielleicht besser:
Damit ist allerdings - möglicherweise oder gar wahrscheinlich - auch noch keine "statistisch zufällige Verteilung" der Primzahlen gezeigt, sondern nur ihre Anzahl unter einer beliebigen Grenze, und das evt sogar ziemlich genau.

Selbst wenn ich aber z.B. genau weiß, dass es
unter 50 15 Primzahlen gibt,
unter 60 17,
unter 100 25
und unter 200 46 (AFAIK, CMIIW)
dann weiß ich immer noch nichts über ihre Verteilung und insb. ob zufällig verteilt oder nicht, und auch noch nicht den genauen Zusammenhang mit den Nullstellen der Zetafunktion.

19.08.2023, 20:09

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Nein, muss ich nicht.
Die Primzahlfunktion ist deterministisch, die Primzahlen haben eine Verteilung.

19.08.2023, 20:16

regxy

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das klingt für mich nicht schlüssig erklärt.
Dass die PZ "verteilt sind" bestreitet ja niemand, die Frage ist aber doch: wie sie verteilt sind, und hier wird es so beschrieben, dass Riemann vermutet:
"Einfach gesprochen sagt die Riemannsche Vermutung aus, dass sich die Folge der Primzahlen 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … „möglichst zufällig“ verhält. Das sollte sich zum Beispiel dadurch äußern, dass die Abfolge der Ereignisse, dass eine Zahl n n eine gerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie zum Beispiel 6 = 2 * 3 , oder eine ungerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie 66 = 2 * 3* 11 , für n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … auf lange Sicht ungefähr ein Verhalten aufweist, das auch ein häufig wiederholter Münzwurf mit „Kopf“ und „Zahl“ haben könnte."
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung

Diesen Gesichtspunkt sehe ich nicht bei deinen Posts, und insb. nicht den eigentlichen Kern, was das mit komplexen Nullstellen der Zetafunktion zu tun haben soll.

20.08.2023, 12:14

URL

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Dieses video mag helfen
Mich interessiert allerdings dieses münzwurfproblem nicht weiter. Viel glück bei deiner Suche

21.09.2023, 07:53

regxy

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nur noch mal ein update: das Video ist leider nicht hilfreich, da in englisch und für mich extrem schlecht verständlich, und meine Ausgangsfrage wird auch nicht wirklich gelöst, soweit an den Charts erkennbar.
Also vielleicht doch noch eine durchschlagende Erklärungs-Idee...?

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