Zetafunktion

17.08.2023, 15:11

gastxy

Zetafunktion

hallo,
wie kann ich
a) durch Einsetzen zeigen, dass die Zahlen -2, -4, -6,... usw Nullstellen der Zetafunktion

zeta(x) = 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x....

sind und

b) was hat das mit Primzahlen zu tun?

17.08.2023, 15:28

Leopold

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Die von dir angegebene Reihe läßt sich von reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ auf komplexe $\begin{align*} s \end{align*}$ ausdehnen. Die Reihe konvergiert aber nur, falls der Realteil von $\begin{align*} s \end{align*}$ größer als 1 ist, im Reellen also nur für $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ . Mit dem Prinzip der analytischen Fortsetzung kann man nachweisen, daß sich die Zetafunktion in natürlicher Weise für beliebige komlexe $\begin{align*} s \neq 1 \end{align*}$ fortsetzen läßt. Dann besitzt sie auch die von dir angegebenen Nullstellen (und weitere). Für ein Verständnis der gesamten Zusammenhänge, auch des Zusammenhangs mit Primzahlen, braucht es ein vertieftes Verständnis komplexer Analysis. Ein wenig Eintauchen in die komplexen Zahlen genügt da bei weitem nicht. In wenigen Zeilen läßt sich das Ganze nicht erklären.

Es tut mir leid, daß ich dir nicht besser helfen konnte. Einen Einblick in die Materie kannst du mit dem Wikipedia-Artikel bekommen.

17.08.2023, 15:33

gastxy

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danke, den Wiki-Artikel kenne ich, verstehe aber NULL.
Dennoch bekomme ich doch üblicherweise per Einsetzen von Nullstellen in eine Funktionsgleichung Null heraus,
z.B. x+2=0 ; sei x=-2 => -2 +2=0.

wie also erhalte ich das Ergebins 0 für
x= -2, -4, -6,... in
zeta(x) = 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x....
?

17.08.2023, 15:39

gastxy

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...(PS):
wieso ist also
zeta(-2) = 1/2^-2 + 1/3^-2 + 1/4^-2.... = 0
bzw.
zeta(-4) = 1/2^-4 + 1/3^-4 + 1/4^-4.... = 0

17.08.2023, 15:49

Leopold

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Zitat:

Original von gastxy
...(PS):
wieso ist also
zeta(-2) = 1/2^-2 + 1/3^-2 + 1/4^-2.... = 0
bzw.
zeta(-4) = 1/2^-4 + 1/3^-4 + 1/4^-4.... = 0

$\begin{align*} \frac{1}{1^{-2}} + \frac{1}{2^{-2}} + \frac{1}{3^{-2}} + \ldots = 1 + 4 + 9 + \ldots = \infty \end{align*}$

Aber keine Panik! Die linke Seite dieser Gleichung ist nämlich gar nicht $\begin{align*} \zeta(-2) \end{align*}$ . Wie bereits gesagt, konvergiert die Reihe nur für $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ . Damit ist $\begin{align*} x=-2 \end{align*}$ eine unzulässige Einsetzung in der Reihe.

17.08.2023, 15:52

gastxy

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verstehe ich nicht.

-2, -4, -6... nennt man doch "triviale Nullstellen", also sind es
1. Nullstellen
2. reele Zahlen
3. erlaubte Werte
und müssen daher, als erlaubte reelle Nullstellen, Null ergeben?

17.08.2023, 16:13

Elvis

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Die trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion sind Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion. Sie sind nicht Nullstellen der Reihe, die die Riemannsche Zeta-Funktion für komplexe Zahlen mit Realteil größer als 1 darstellt. Für komplexe Zahlen mit Realteil kleiner als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion durch andere Reihen dargestellt.
Falls es dich interessiert, darfst du auch gerne etwas über analytische Fortsetzung lernen : https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Fortsetzung
Wie man $\begin{eqnarray*} \zeta(-2) \end{eqnarray*}$ berechnet, steht hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zeta-Funktion

17.08.2023, 16:19

gastxy

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aha, also braucht man 2 Reihenformeln, eine für x>1 und eine für x<1.
wie lautet die dann für x<1, denn die habe ich noch nirgends gesehen...?

17.08.2023, 16:20

HAL 9000

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@gastxy

Leider hast du Leopolds Ausführungen weitgehend ignoriert. Daher ein einfacheres Beispiel:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ ist für alle komplexen (und damit insbesondere auch reelle) Zahlen $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ definiert. Es ist somit $\begin{eqnarray*} f(2)=-1 \end{eqnarray*}$ .

Andererseits gilt aber auch für alle $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{eqnarray*}$ . Deine Argumentation auf dieses einfachere Beispiel übertragen bedeutet, dass man $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ unter Ignoranz der Konvergenzbedingung $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ auch via $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 2^k \end{eqnarray*}$ berechnen kann - was nicht stimmt, da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 2^k = \infty \end{eqnarray*}$ eine bestimmt divergente Reihe ist.

17.08.2023, 16:27

gastxy

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verstehe ich nicht.

die erste Reihe, die ich angeführt habe, steht für die Zetafunktion für x>1.

Offenbar gibt es aber auch eine eine andere Reihe für x<1, da ja die Zetafunktion für x=-2, -4,... reelle Nullstellen besitzt.

Wie lautet also die Reihe, für die sich mit x=-2, -4,... dann =0 ergibt?

17.08.2023, 17:32

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
In wenigen Zeilen läßt sich das Ganze nicht erklären.

Es hat schon seinen Grund, warum es ein Studium der Mathematik gibt. Damit will ich nicht sagen, daß ein interessierter Schüler sich das nicht aneignen kann. Er soll nur nicht glauben, daß das mit dem Durchlesen von zwei Buchseiten getan ist. Da muß man sich Stück für Stück durch ein Werk der komplexen Analysis (auch "Funktionentheorie") durcharbeiten. Und Abiturkenntnisse der Mathematik sind für das Studium eines solchen Werkes vorauszusetzen. Mindestens.

Als Nachtrag noch ein Link.

17.08.2023, 17:41

Elvis

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So einfach geht das nicht, denn es gibt nicht eine Reihe für x<1. Analytische Fortsetzung benötigt manchmal unendlich viele Schritte, und man kann sich schrittweise immer weiter in die komplexe Ebene vorarbeiten. Die Euler-Maclaurin Summenformel wird auf Wikipedia als Formel und als Grafik dargestellt. Das ist hartes Brot und nur mit viel Geduld und Mühe zu verstehen (wenn überhaupt).
Nach einem einführenden Studium der Funktionentheorie gibt es in der Reihe "Graduate Texts in Mathematics" von Tom M. Apostol "Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory". Kurz gesagt ist ein Verständnis nach ca. 6-8 Semestern Mathematikstudium durchaus möglich, wenn man sich auf diese Themen konzentriert. (Es soll auch Genies geben, die das etwas schneller können.)

17.08.2023, 17:51

gastxy

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ach so, dann klang aber deine Aussage oben "Für komplexe Zahlen mit Realteil kleiner als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion durch andere Reihen dargestellt. " sehr missverständlich, nämlich so als könnte man sie explizit hinschreiben.

17.08.2023, 17:52

Elvis

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"andere Reihen" ist Plural. Eine "Reihe" ist Singular.

17.08.2023, 17:54

gastxy

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@Leopold
danke für den anderen Link, leider verstehe ich solche Erklärungen aber in Englisch erst recht nicht, und es geht mit ja auch nicht um die gesamte komplexe Fläche, sondern hier nur um die "trivialen Nullstellen".

17.08.2023, 17:57

gastxy

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Zitat:

Original von gastxy
@Leopold
danke für den anderen Link, leider verstehe ich solche Erklärungen aber in Englisch erst recht nicht, und es geht mit ja auch nicht um die gesamte komplexe Fläche, sondern hier nur um die "trivialen Nullstellen".

also wenn es mehrere gibt, dann gibt es spezielle auch 1,
aber du darfst für -2, -4, -6 etc auch gerne mehrere hier als Antwort posten.

17.08.2023, 17:59

gastxy

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Zitat:

Original von Elvis
"andere Reihen" ist Plural. Eine "Reihe" ist Singular.

war der falsche Quote:

"andere Reihen" ist Plural. Eine "Reihe" ist Singular.

17.08.2023, 18:01

gastxy

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@Elvis:
also wenn es mehrere gibt, dann gibt es spezielle auch 1,
aber du darfst für -2, -4, -6 etc auch gerne mehrere hier als Antwort posten.

17.08.2023, 20:06

Elvis

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Sowohl Leopold als auch ich haben dich auf das Prinzip der analytischen Fortsetzung und auf Wikipedia zeta-Funktion hingewiesen. Dort findest du eine Reihe, von der Helmut Hasse 1930 bewiesen hat, dass sie für alle komplexen Zahlen ungleich 1 die zeta-Funktion darstellt. Kurz davor steht dort auch eine Reihe für die Dirichlet'sche eta-Funktion, welche die zeta-Funktion für positive Realteile darstellt. Es gibt unendlich viele Reihen, je nachdem um welchen Punkt ungleich 1 man entwickelt, das ist das Prinzip der analytischen Fortsetzung, wenn man weiß, dass die zeta-Funktion meromorph mit einem einzigen Pol bei 1 ist.

17.08.2023, 20:46

gastxy

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welche meinst du?
Kannst du sie posten?

und wie kann man durch Einsetzen ausrechnen , dass -2, -4, -6... "triviale" Nullstellen dieser anderen Funktion sind?

17.08.2023, 20:48

gastxy

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PS,
"...analytischen Fortsetzung, wenn man weiß, dass die zeta-Funktion meromorph mit einem einzigen Pol bei 1 ist"
verstehe ich nicht.

18.08.2023, 05:18

Elvis

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1. Deine Erwartungen an andere sind zu groß. Ich kann mit meinem Smartphone nicht posten. Ich weiß nicht, wie man mit dieser Reihe durch Einsetzen ausrechnen kann, wo die trivialen und nichttrivialen Nullstellen liegen.
2. Die Begriffe holomorph, analytische Fortsetzung, meromorph, Pol, Singularitaet (und vieles mehr) muss man in der Funktionentheorie lernen, bevor man sich mit der zeta-Funktion oder den unendlich vielen anderen komplexen Funktionen beschäftigen kann.

18.08.2023, 07:33

gastxy

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die nichttrivialen wollte ich ja sogar erstmal beiseite lassen, weil die "trivialen" eben trivialer klangen.
Aber dass die zeta-Reihe noch nicht mal für die zrivialen definiert ist, war schon etwas....überraschend.
andererseits klang es auch nicht sehr anspruchsvoll, mal ein paar triviale Werte einfach in eine Gleichung einzusetzen, um nachzusehen, ob dann wirklich damit 0 rauskommt.
Auch wenn die reihe ganz oben für x>0 nicht passt, müsste es dann ja zumindest mit einer anderen reihe für x<0 klappen, wo die reellen negativen Nullstellen ja erlaubt sind.

Lassen wir den Teil (a) dann eben beiseite, wenn die Frage zu anspruchsvoll ist.

Weiter mit Teil (b)....

18.08.2023, 07:37

gastxy

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also, Teil (b):

Nun habe ich eine recht komplizierte komplexe Funktion, die für den Realteil x der Argumente bei x=1/2 etliche komplexe Nullstellen besitzt.

Was haben die Nullstellen nun mit Primzahlen zu tun?

18.08.2023, 07:54

Elvis

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Ich habe schlicht keine Lust, einfache Erklärungen für komplizierte Dinge von Wikipedia abzuschreiben. Bitte lies selbst, was dort steht: https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zeta-Funktion

18.08.2023, 08:04

gastxy

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das finde ich legitim, keiner ist gezwungen zu antworten, und wenn du keine Lust hast, dann lass es einfach. - aber dann poste hier auch nichts, was nicht weiterhilft.
Dass der Wiki Artikel für mich unverständlich ist, schrieb ich ja bereits, dein erneuter Link ist also leider ebenfalls redundant.

Vielleicht - hoffentlich - findet sich ja jemand anderes, der tatsächlich Lust und Kompetenz besitzt, auf die Frage verständlich und ausführlich einzugehen.

18.08.2023, 08:23

Elvis

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Es ist ein Irrtum zu glauben, dass es einfache, verständliche und ausführliche Erklärungen für komplizierte Dinge geben könnte, die nicht jede*r verstehen kann. Du hast m.E. zu hohe Ansprüche an andere und zu geringe Ansprüche an dich selbst.

Der Zusammenhang zwischen zeta-Funktion und Primzahlen wird durch das Euler-Produkt hergestellt. Wenn du das verstehen willst, musst du unendliche Reihen und unendliche Produkte verstehen, das sind die Grundlagen der Funktionentheorie. Um auch nur diese Grundlagen zu begreifen, muss man nach dem Bachelor-Studium ein oder zwei Semester Funktionentheorie studieren.

18.08.2023, 08:39

gastxy

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ich will ja zunächst nur verstehen was überhaupt diese zeta-Funktion thematisch mit Primzahlen zu tun hat und insb. ihre Nullstellen - zunächst rein beschreibend.

Aber ich habe schon verstanden, dass es für dich zu kompliziert zu erklären ist, also lass doch mal andere 'ran, statt andauernd nur nichtssagende und nicht weiterführende Posts abzugeben.

Also, noch mal an andere - NICHT an Elvis - :
was hat die zeta-Funktion thematisch mit Primzahlen zu tun und insb. ihre Nullstellen:

(letzlich geht es natürlich dann später (!) auch um den Zusammenhang von der zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung)

18.08.2023, 08:49

Steffen Bühler

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Die entscheidende Zeile im Wiki-Artikel ist

$\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}} \end{eqnarray*}$

Diese geniale Entdeckung bedeutet ja ausgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1^s}+\frac 1 {2^s}+\frac 1 {3^s}+\frac 1 {4^s}+\frac 1 {5^s}+ \dots = \frac{1}{1-\frac{1}{2^{s}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3^{s}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{5^{s}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{7^{s}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{11^{s}}} \cdot \dots \end{eqnarray*}$

Aus einer unendlichen Summe, in der alle natürlichen Zahlen vorkommen, wird auf diese Weise ein unendliches Produkt, in dem alle Primzahlen auftreten!

Du kannst die Anfänge beider Formeln gerne mal in ein Programm eingeben (geht sogar in Excel) und vergleichen.

Viele Grüße
Steffen

18.08.2023, 08:59

gastxy

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aaahhh!
Danke, das war der entscheidende Hinweis, wie die Primzahlen da ins Spiel kommen!

Und jetzt nur noch mal gezielt:
was haben die Nullstellen der zeta- (Euler)-Formel für eine "herausragende" oder "entscheidende" Bedeutung?

18.08.2023, 09:05

gastxy

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PS,
es scheint ja auch so zu sein, dass die Argumente s der Zetafunktion tatsächlich natürliche Zahlen >1 sind, und gar keine reellen oder gar komplexe....?
denn die Argumente treten bei Euler ja "nur" als natürliche Exponenten auf:

zeta(2) = PROD_p ( 1/ (1-1/p²))
oder
zeta(3) = PROD_p ( 1/ (1-1/p³))

18.08.2023, 09:09

gastxy

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ah, nee, error.
war ein Denkfehler, es geht ja um komplexe Exponenten ins. mit Realteil x=0,5.

Also nochmal die Frage, was diese nullstellen tatsächlich aussagen oder bedeuten sollen.

18.08.2023, 09:19

gastxy

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...oder doch nicht...? was sind diese s in zeta(s) für Werte?

18.08.2023, 09:41

Steffen Bühler

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Es sind in der Tat komplexe Werte. Und es geht bei den nichttrivialen Nullstellen ja auch darum, dass die alle den Realteil 0,5 haben. Auch das kannst Du mal ausprobieren.

Hier ist die Fläche der Betragswerte von der Zetafunktion über der komplexen Ebene:

[attach]53441[/attach]

Das "Gebirge" hinten hat "Täler", in denen sich die Nullstellen verstecken:

[attach]53442[/attach]

In jedem "See" eines "Tales" gibt es eine solche Nullstelle, die ganz runter auf Null geht. Und alle diese Nullstellen sind angeblich genausoweit vom Horizont enfernt. Faszinierend, oder?

Gut, warum das Ganze? Die Konsequenzen der Riemann-Hypothese sind z.B. hier aufgelistet. Eine wichtige ist, dass dann die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze deutlich genauer bestimmt werden kann (Primzahlsatz). Das wiederum kann Primzahltests beschleunigen. Aber es gibt noch viele andere Mathematiker, die auf einen Beweis warten, damit ihre eigenen Hypothesen bewiesen werden können.

Ein recht verständliches Buch, das damals auch mich angefixt hat, ist Die Musik der Primzahlen. Vielleicht kennst Du es ja schon.

18.08.2023, 09:43

gastxy

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update,
immerhin kriege ich jetzt mit der Euler-Formel für s=-2 u/o -4 u/o -6 schon mal ziemlich genau Null 'raus:
soviel zu den trivialen Nullstellen, aber die sind ja eh unbedeutend für die Riemann-Vermutung...

Nur die Bedeutung/Aussage der nicht-trivialen Nullstellen ist mir noch nicht klar.

18.08.2023, 09:47

gastxy

Auf diesen Beitrag antworten »

anders ausgedrückt:
wofür steht der Imaginärteil y der komplexen s (x,y), wenn hier x=0,5 ist?
Und was hat dann die Gesamtheit aller Nullstellenmit der Riemann-Vermutung zu tun?

18.08.2023, 10:33

Steffen Bühler

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Der Imaginärteil ist einfach der von den gefundenen komplexen nichttrivialen Nullstellen.

Die erste ist ja zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 0,5+i \cdot 14,1347\dots \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass die unendliche Summe

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1^{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}+\frac 1 {2^{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}+\frac 1 {3^{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}+\frac 1 {4^{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}+\frac 1 {5^{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}+ \dots \end{eqnarray*}$

Null ergeben muss. Und eben auch, dass das unendliche Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{2^{{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3^{{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{5^{{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{7^{{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{11^{{0,5+i \cdot 14,1347\dots}}}} \cdot \dots \end{eqnarray*}$

Null ergibt. Nach dem Satz vom Nullprodukt heißt Letzteres, dass mindestens einer der Faktoren Null sein muss. Das bedeutet wiederum für mindestens einen der Primzahlterme $\begin{eqnarray*} p^{0,5+i \cdot 14,1347\dots} \end{eqnarray*}$ , dass er Eins ergeben muss, dann wird der Nenner unendlich und der Faktor Null.

18.08.2023, 10:51

IfindU

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@Steffen: In dem Fall wird der Nenner 0 und wir haben ein Problem. Das tritt aber nie ein, denn $\begin{eqnarray*} | p^{x +iy} | = |p|^x \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} |p^{0.5 + iy}| =\sqrt p \end{eqnarray*}$ .

Der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac 1 { 1 - \frac 1 p } \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} p \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Es wird hier sehr subtil, da der imaginäre Anteil im Exponenten dafür sorgt, dass man lange genug im Betrag echt kleiner 1 bleibt. Wenn die es genug Faktoren gibt, die genug viel kleiner als 1 sind, dann haben wir Konvergenz gegen 0. Ähnlich wie eine Reihe konvergiert, wenn die Summanden schnell genug gegen 0 konvergieren. (Es gibt sogar eine sehr enge Beziehung über den Logarithmus zu den beiden Konzepten).

Für unendliche Produkte ist bspw. auch $\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^\infty \frac 1 2 = 0 \end{eqnarray*}$ , auch wenn jeder Faktor identisch $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ und es nicht einmal ein asymptotisches annähren der Faktoren gegen 0 besitzt.

18.08.2023, 10:51

regxy

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(aka gastxy)

@ Steffen Bühler:
ah ja, danke, das ist jetzt klarer.

Dann jetzt nochmal die mir noch fehlende Verbindung zur Riemannschen Vermutung: Hier geht es ja wohl hauptsächlich um die "statistisch gleichmäßige Verteilung" der Primzahlen, und irgendwie auch speziell, dass die gerade und ungerade Anzahl der Primfaktorzerlegungen gleichverteilt seien.

Es gibt ja wohl den Satz, dass die Riemannsche Vermutung gleichbedeutend mit der Aussage sei, dass sämtliche komplexe Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion im sog. kritischen Streifen den Realteil 1/2 besitzen.
Hat die behauptete Gleichverteilung der geraden/ungeraden Faktoranzahl mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils 0,5 etwas mit dem Realteil 0,5 im "kritischen Streifen" der Nullstellen zu tun?

Ist es ansonsten möglich, diesen Beweis/Zusammenhang irgendwie umgangssprachlich zu veranschaulichen?

18.08.2023, 11:09

regxy

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@ IfindU:
interessanter Gesichtspunkt...!

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