Integration durch Substitution

18.08.2023, 11:21

Samsara

Integration durch Substitution

folgendes Aufgabe $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{3x^{3}}{3x^{2}+1} \end{eqnarray*}$ . Ich habe die Vorgehensweise leider etwas vergess. Was ich noch weiß, ist, dass ich den Teil den ich substituieren will, ableiten muss, und das dann als $\begin{eqnarray*} u^{'} \end{eqnarray*}$ zum Integrieren nehmen muss. Dass wäre dann hier für $\begin{eqnarray*} 3x^{3}+1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 9x^{2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt müsste dann stehen $\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}}{9x^{2}} \end{eqnarray*}$ Dann käme die Quotientenregel und zum Schluß die Rücksubstitution dran. Ich habe allerdings das Gefühl, dass ich hier einen ordentlichen Wurm drin habe.

18.08.2023, 11:34

adiutor62

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RE: Integration durch Substitution
Hier wird dir der Rechenweg aufgezeigt:

https://www.integralrechner.de/

18.08.2023, 12:37

Samsara

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RE: Integration durch Substitution
Den habe ich mir schon angesehen und der hat mir jetzt allerdings noch nicht weitergeholfen.

18.08.2023, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Dass wäre dann hier für $\begin{eqnarray*} 3x^{3}+1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 9x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Mal abgesehen davon, dass hier Gleichheit zu schreiben Blödsinn ist, gibt es bei diesem Integral keinen vernünftigen Grund, ausgerechnet $\begin{eqnarray*} 3x^3+1 \end{eqnarray*}$ zu substituieren.

Naheliegend wäre stattdessen eine Substitution des Nenners, also $\begin{eqnarray*} u = 3x^2+1 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt $\begin{eqnarray*} \dd u = 6x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ und folglich

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \frac{3x^3}{3x^2+1} ~ \dd x = \frac{1}{6} \int\limits_0^1 \frac{3x^2}{3x^2+1} \cdot 6x~ \dd x \stackrel{!}{=} \frac{1}{6} \int\limits_{3\cdot 0^2+1}^{3\cdot 1^2+1} \frac{u-1}{u} ~ \dd u = \frac{1}{6} \int\limits_1^4 \left(1-\frac{1}{u}\right) ~ \dd u = \ldots \end{eqnarray*}$ .

Rücksubstitution ist bei einem bestimmten Integral (wie hier) nicht nötig, wenn man ordnungsgemäß die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Grenzen zu entsprechenden $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Grenzen mittransformiert.

18.08.2023, 21:04

klauss

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RE: Integration durch Substitution
Im Fall Zählergrad > Nennergrad ist es häufig auch nützlich, zuerst (z. B. durch Polynomdivision) umzuschreiben, hier in

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! x-\frac{x}{3x^{2} +1} \, dx \end{eqnarray*}$

Dann ist die Substitution sowieso klar.

20.08.2023, 08:14

G200823

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Dann ist die Substitution sowieso klar.

Hier geht es ohne sie, weil beim Subtrahenden im Zähler die Ableitung des Nenners steht, wenn man ihn durch 6
teilt. Man kann das Integral sehen: -1/6* ln(3x^2+1)
Das wäre hier m.E. der einfachste und schnellste Weg nach der PBZ, die auch ruckzuck erledigt ist.

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