Binäre Operation

18.08.2023, 12:33	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Binäre Operation Hallo, Wenn $\begin{eqnarray} S = \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a b = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a+b} \end{eqnarray}$ ist, warum ist $\begin{eqnarray} * \end{eqnarray}$ dann keine binäre Operation auf der Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ? Solange $\begin{eqnarray} a+b \neq 0 \end{eqnarray}$ ist, ist das doch in der Tat eine binäre Operation, dann haben wir nämlich $\begin{eqnarray} \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b \end{eqnarray}$ und das ist eine binäre Operation auf der Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray*}$ , würde ich sagen... Vielen Dank!
18.08.2023, 13:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort hast du schon gegeben, weil für a+b=0, also für a=-b das "Produkt" ab nicht definiert ist. Division durch 0 ist in ganzen Zahlen nicht definiert. Die Definition ab=a+b ergibt eine binäre Operation, aber so ist sie gerade nicht definiert. Wie jede Funktion muss auch jede Operation auf dem gesamten Definitionsbereich genau einen Wert haben. $\begin{eqnarray} \frac 0 0 \end{eqnarray}$ geht auch nicht.
18.08.2023, 13:50	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, danke! Dann habe ich mir das ja so richtig erdacht/begründet. Danke!
18.08.2023, 22:21	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Frage habe ich noch. Wenn die Menge $\begin{eqnarray} S = \left\{1,-2,3,2-4 \right\} \end{eqnarray}$ und die Operation $\begin{eqnarray} a b = \|b\| \end{eqnarray}$ ist. Dann ist dies doch keine Operation auf der Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , weil für $\begin{eqnarray} \|-4\| = 4 \end{eqnarray}$ , dies nicht in der Menge enthalten ist, oder? Das ist auch nicht kommutativ weil $\begin{eqnarray} a * b = \|b\| \neq \|a\| = b * a \end{eqnarray}$ , es sei denn $\begin{eqnarray} a = b \end{eqnarray}$ , richtig? Aber kann das dennoch assoziativ sein? Weil dort hätten wir ja: $\begin{eqnarray} (a * b) * c = (\|b\|) * c = \|c\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a * (b * c) = a * (\|c\|) = \|\|c\|\| \end{eqnarray*}$ . Der Betrag des Betrages ist doch wieder der Betrag? Also könnte man sagen, dass die Operation assoziativ ist?
19.08.2023, 05:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles komplett richtig. Ich würde aber nicht von einer Operation auf S sprechen, weil es keine ist, sondern von einer assoziativen Abbildung von S nach \|S\|={1,2,3,4}.
19.08.2023, 08:19	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, den Vorschlag finde ich gut und nochmal vielen Dank!
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