Volumen Pyramidenstumpf

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Mathefreund10 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen Pyramidenstumpf
Volumen Pyramidenstumpf durch "Ergänzen" berechnen:

Hallo liebe Mathefreunde,

Folgende Aufgabe:

Quadratischer Pyramidenstumpf, Seitenlänge a der unteren Fläche, Seitenlänge b der oberen Fläche und die Höhe des Pyramidenstumpfs sind gegeben. Jetzt könnte man ja den Körper in verschiedene Teile aufteilen oder die quadr. Pyramidenstumpfformel anwenden, um das Volumen zu erhalten.

Meine Frage bezieht sich auf das Ergänzen:

Fall a.) Ich berechne einen Quader und ziehe alles ab, was zu viel ist.
Fall b.) Ich konstruiere eine "komplette" Pyramide und berechne die Höhe der "oberen Pyramide"
bzw. die Gesamthöhe mit dem Strahlensatz, dann das Volumen der oberen Pyramide von dem
der ganzen Pyramide abziehen.

Nun zur Frage:
Gibt es noch eine andere Möglichkeit zur Berechnung des Volumens für den Fall Ergänzen zu einer kompletten Pyramide ohne Strahlensatz?

Danke im Voraus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Pyramidenstumpf entsteht definitionsgemäß, indem man von einer Pyramide eine zu ihr ähnliche kleinere Teilpyramide abschneidet. Sein Volumen erhält man daher durch die Subtraktion des Volumens der Teilpyramide vom Volumen der Vollpyramide.
Der Strahlensatz ist eine mögliche Technik, um die Ähnlichkeit zu behandeln. Man kann um ihn herumkommen, um die Ähnlichkeit selbst aber nicht. Es gibt eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfs, in der nur die Inhalte der Parallelflächen und die Höhe des Stumpfs vorkommen. Für ihre Herleitung wird man aber auch wieder die Ähnlichkeit, gegebenenfalls den Strahlensatz verwenden.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen Pyramidenstumpf
Besagte Formel ließe sich spaßeshalber ohne Ergänzen und ohne Strahlensatz anhand des Bildes durch



herleiten bzw. bestätigen.
Das aber außer Konkurrenz, da dieser Weg nutzlos ist, wenn die Frage schulbezogen jahrgangsstufenkonform zu beantworten ist.

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Mathefreund10 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
schonmal vielen Dank.

Es geht eher um die Klassen 9/10.

Damit würde deine Lösung klauss leider ausscheiden. Also ohne Anwendung "höherer Mathematik".

@Leopold: Wie kann man denn um den Strahlensatz drum herum kommen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann eine Formel für das Stumpfvolumen angeben, in der nur die Inhalte und der Parallelflächen und die Höhe des Stumpfes vorkommen. Dazu verwendet man die Ähnlichkeit der gesamten Pyramide zur Teilpyramide, bei deren Wegnahme der Stumpf entsteht.

Die Vollpyramide besitze also als Volumen, Grundfläche und Höhe, bei der Teilpyramide seien es . Es sei mit der Streckfaktor, mit dem die Vollpyramide auf die Teilpyramide gestreckt wird. Bei Streckungen nehmen Längen den Faktor , Flächeninhalte den Faktor und Rauminhalte den Faktor auf:



Man beginnt mit und erhält



Jetzt verwendet man die an die 3. binomische Formel erinnernde Beziehung



Wenn man sie nicht kennt, kann man sie sofort durch Ausmultiplizieren der rechten Seite bestätigen. Mit Hilfe von folgt . Dann rechnet man oben beim Volumen des Stumpfs weiter:



Zum Schluß löst man nach auf und setzt dies hier ein. Nach einer Umformung erhält man die bekannte Formel



Die Herleitung gilt für jeden Pyramidenstumpf, unabhängig von der Beschaffenheit der Grundfläche. Ja, sie gilt sogar für jeden Kegelstumpf, denn ein solcher hat dasselbe Bauprinzip: der weggenommene Teilkegel ist ähnlich zum Vollkegel.

In deinem Fall ist und , folglich

nichteuerernst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen Pyramidenstumpf
Statt Volumensubtraktion geht natürlich auch Volumenaddition.
Der Stumpf besteht aus dem inneren Quader, 4 kongruenten Pyramiden an den Ecken und vier kongruenten dreiseitigen Prismen an den Kanten.

V=b²*h +4*((a-b)/2)²*h/3+4*((a-b)/2)*h/2*b
 
 
Mathefreund10 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

@Leopold: Danke, eine solche Lösung ist jedoch denke ich nicht von den Schülern verlangt. :-) Sehr interessant trotzdem.

@nichteuerernst: Diese Lösung hatte ich auch schon. Es geht mir in meiner Fragestellung nur ums "Ergänzen", nicht um das in Körper zerlegen. Wie gesagt, ich könnte es ja auch in einen Quader ergänzen und dann die anderen Körper abziehen, da kommt dasselbe raus, habe ich überprüft.

Also eine andere "einfache" Lösung gibt es sonst nicht mehr fürs "Ergänzen, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was nichtneuerernst additiv gemacht hat, kann man natürlich auch subtraktiv machen:

Ausgangskörper Quader , wovon subtrahiert werden
- 4 Prismen Grundfläche rechtwinkliges Dreieck und Höhe , und
- 8 Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche und Höhe .

Ergibt .
Mathefreund10 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000

Ja, die Lösung hatte ich auch schon. Danke.

Mir geht es nur ums "Ergänzen".

Wenn ich mir jetzt mal so die ganzen Antworten ansehe, scheint es nichts "Einfaches" ohne Strahlensatz mehr zu geben. Oder z. B. die Höhe von dem oberen Teil der "Gesamt"Pyramide bzw. die Höhe der gesamten Pyramide wird zusätzlich vorgegeben. Dann könnte man sich den Strahlensatz auch sparen. Sonst verbessert mich bitte.

VG
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