Doppelintegral symmetrischer Funktionen

21.08.2023, 09:30

MMchen60

Doppelintegral symmetrischer Funktionen

Hallo liebe Forumsgemeinde,
es geht um die Aufgabe im Anhang, bei der man den Wert eines Doppelintegrals von achsen- bzw. punktsymmetrischen Funktonen bestimmen soll.
Ich habe das für die erste Spalte der Aufgabe mal mit einer Beispielfunktion versucht nachzuvollziehen, scheitere aber bei Intergral der punktsymmetrischen Funktion.
Was mache ich da falsch, bzw. lässt sich das Ganze durch eine Argumentation lösen?
Vielen Dank für Antwort.
P.S.: die beiden angekreuzten Lösungen sind nach dem Prof die Richtigen.
MM

21.08.2023, 22:42

klauss

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RE: Doppelintegral symmetrischer Funktionen
Hier scheinst Du an ein paar Mißverständnissen gescheitert zu sein. Als Beispiele bräuchtest Du Funktionen, die die genannte Bedingung erfüllen.
Beispiele wären
zu (1): $\begin{eqnarray*} f(x,y) =xy^{2}~;~f(x,y)=\cos(x^{2}y) \end{eqnarray*}$
zu (2): $\begin{eqnarray*} f(x,y) =xy~;~f(x,y)=\sin(x^{2}y) \end{eqnarray*}$
Bestätige jeweils durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} -y \end{eqnarray*}$ .
Für diese Funktionen dann das Doppelintegral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \int_{-1}^{1} \! f(x,y) \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

berechnen.
Wenn der Integralwert gemäß Tabelle rauskommt, mag das ein Indiz für die Gültigkeit der Aussage sein, wenngleich noch kein allgemeiner Nachweis.
Wenn nicht der Integralwert gemäß Tabelle rauskommt, ist die Allgemeingültigkeit der Aussage aber widerlegt.

22.08.2023, 14:32

MMchen60

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RE: Doppelintegral symmetrischer Funktionen

Zitat:

Original von klauss
Wenn der Integralwert gemäß Tabelle rauskommt, mag das ein Indiz für die Gültigkeit der Aussage sein, wenngleich noch kein allgemeiner Nachweis.
Wenn nicht der Integralwert gemäß Tabelle rauskommt, ist die Allgemeingültigkeit der Aussage aber widerlegt.

Hallo danke, habe das für Zeile 1 Aufgabenstellung vollzogen, da stimmt die Ankreuzung des Prof.
Leider nicht für Zeile2, da kommt in beiden Fällen bei mir 0 heraus, was der angegebenen Lösung widerspricht.

22.08.2023, 15:58

klauss

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RE: Doppelintegral symmetrischer Funktionen
Es mag sein, dass in einzelnen Fällen mit Beispielfunktionen tatsächlich 0 herauskommt. Allgemeingültig wäre es aber nur, wenn es für alle Funktionen mit der vorgegebenen Symmetrieeigenschaft gelten würde.
Neben den von mir genannten Beispielfunktionen wären ebenso geeignet
(1) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\cos(xy) \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sin(xy) \end{eqnarray*}$
(oder andere beliebige)
Auch wenn dabei nicht elementar integrierbare Zwischenergebnisse entstehen können, ist zumindest klar, dass nicht immer 0 herauskommt.

24.08.2023, 08:28

MMchen60

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RE: Doppelintegral symmetrischer Funktionen
Hallo Klauss,
ich deke, dass ich vielleicht auch einen Fehler gemacht habe. Ich bin mir wegen der Notation nicht mehr so sicher. Wenn ich habe $\begin{eqnarray*} \int_{[0;1]x[-1;1] } f(x;y) d(x;y) \end{eqnarray*}$ gilt dann die Grenze [0;1] für dx und [-1;1] für dy oder umgekehrt?
LG MMchen

24.08.2023, 09:00

klauss

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RE: Doppelintegral symmetrischer Funktionen
Bei mir werden seit gestern Matheboard-Seiten nur mit Verzögerung geladen und Latex-Formeln werden nicht angezeigt. Weiß nicht, ob das nur bei mir der Fall ist (bei anderen Webseiten tritt das Problem nicht auf).
Daher konnte ich Deinen letzten Beitrag nicht komplett lesen, aber ich kann so darauf antworten:
Wenn eine Funktion f(x,y) von [0;1] x [-1;1] nach R gegeben ist, dann behandle ich die selbstverständlich so, dass [0;1] für die erste Variable (x) und [-1;1] für die zweite (y) gilt.

24.08.2023, 11:00

Leopold

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Mir erscheint das ein Zuviel des Herumoperierens an Symptomen, statt daß man auf das Eigentliche zu sprechen kommt. Und das ist hier die vorhandene oder nicht vorhandene Achsensymmetrie des Integrationsbereichs $\begin{align*} A \end{align*}$ zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse.

Liegt $\begin{align*} A \end{align*}$ symmetrisch zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse, gilt also

$\begin{align*} (x,y) \in A \ \ \Leftrightarrow \ \ (x,-y) \in A \end{align*}$

und erfüllt $\begin{align*} f \end{align*}$ über $\begin{align*} A \end{align*}$ die Funktionalgleichung

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ f(x,-y) = - f(x,y) \end{align*}$

dann gilt

$\begin{align*} \int_A f(x,y) ~ \dd (x,y) \ = \ 0 \end{align*}$

[attach]57255[/attach]

Denn bei der durch $\begin{align*} f \end{align*}$ über $\begin{align*} A \end{align*}$ in $\begin{align*} z \end{align*}$ -Richtung errichteten Landschaft besitzt jeder Berg nördlich der $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene ein dazu symmetrisches Tal südlich der $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene, und dasselbe gilt, wenn man Berg und Tal vertauscht. Das Integral berechnet das vorzeichenbehaftete Volumen über oder unter $\begin{align*} A \end{align*}$ , und zueinander symmetrische Landschaftsformen heben sich im Volumen gegenseitig weg.

Wer es gern etwas formaler will, soll die Substitution $\begin{align*} x=u, \ y=-v \end{align*}$ ausführen. Der Betrag der zugehörigen Funktionaldeterminante ist 1, und $\begin{align*} A \end{align*}$ ist fix bezüglich der Substitution. Wenn man $\begin{align*} u \end{align*}$ sofort wieder in $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ in $\begin{align*} y \end{align*}$ umbenennt, geht die Rechnung so:

$\begin{align*} \int_A f(x,y) ~ \dd (x,y) \ = \ \int_A f(x,-y) \cdot 1 ~ \dd (x,y) \ = \ \int_A -f(x,y) ~ \dd (x,y) \ = \ - \int_A f(x,y) ~ \dd (x,y) \end{align*}$

Und daraus ergibt sich $\begin{align*} \int_A f(x,y) ~ \dd (x,y) \ = \ 0 \end{align*}$ .

In der ersten Aufgabe der Tabelle ist $\begin{align*} A = [0,1] \times [-1,1] \end{align*}$ , das ist in der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene ein Rechteck mit den Ecken $\begin{align*} (0,-1), (1,-1), (1,1), (0,1) \end{align*}$ . Somit liegt $\begin{align*} A \end{align*}$ symmetrisch zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse, und (2) ist der soeben von mir behandelte Fall.

25.08.2023, 07:50

MMchen60

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Zitat:

Original von Leopold
In der ersten Aufgabe der Tabelle ist $\begin{align*} A = [0,1] \times [-1,1] \end{align*}$ , das ist in der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene ein Rechteck mit den Ecken $\begin{align*} (0,-1), (1,-1), (1,1), (0,1) \end{align*}$ . Somit liegt $\begin{align*} A \end{align*}$ symmetrisch zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse, und (2) ist der soeben von mir behandelte Fall.

Also verstehe ich das richtig, dass ja dann wenn $\begin{eqnarray*} f(x;-y)=f(x;y) \end{eqnarray*}$ vorliegt, Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, das Rechteck aber symmetrisch zur x-Achse ist und deshalb $\begin{eqnarray*} \ne 0 \end{eqnarray*}$ herauskommt?
LG Meinolf

25.08.2023, 10:41

Leopold

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Das ist nicht präzise genug: Wer oder was ist wozu achsensymmetrisch?

Der Bereich $\begin{align*} A \end{align*}$ der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene sei achsensymmetrisch zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse. Du kannst als Beispiel das Bild aus meinem vorigen Beitrag oder das eben angesprochene Rechteck nehmen.

Nun kommt eine, machen wir es nicht zu kompliziert: differenzierbare, aber sonst beliebige, auf $\begin{align*} A \end{align*}$ definierte Funktion $\begin{align*} z=f(x,y) \end{align*}$ ins Spiel. Du mußt dir zusätzlich noch eine $\begin{align*} z \end{align*}$ -Achse denken, die durch den Ursprung geht und auf der $\begin{align*} x \end{align*}$ - und $\begin{align*} y \end{align*}$ -Achse senkrecht steht, ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem eben. Über jedem Punkt $\begin{align*} (x,y) \in A \end{align*}$ liegt im durch $\begin{align*} z=f(x,y) \end{align*}$ berechneten Abstand ein Punkt, oberhalb der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene, falls $\begin{align*} z \end{align*}$ positiv, unterhalb der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene, falls $\begin{align*} z \end{align*}$ negativ ist. Diese Punkte bilden die Oberfläche einer Landschaft. Man kann nun das Integral

$\begin{align*} V = \int_A f(x,y) ~ \dd (x,y) \end{align*}$

als Volumen des Raumes zwischen der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene und dieser Fläche ansehen, wobei Volumenteile oberhalb der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene, also für $\begin{align*} z>0 \end{align*}$ , positiv und Volumenteile unterhalb der $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene, also für $\begin{align*} z<0 \end{align*}$ , negativ gerechnet werden.

Ich hoffe, ich konnte dir eine Vorstellung von der Situation vermitteln, und möchte dich bitten, meinen vorigen Beitrag noch einmal durchzuarbeiten. Vielleicht wird dann alles ein wenig klarer.

Zitat:

Original von MMchen60
Also verstehe ich das richtig, dass ja dann wenn $\begin{eqnarray*} f(x;-y)=f(x;y) \end{eqnarray*}$ vorliegt, Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt

$\begin{align*} z = f(x,y) = f(x,-y) \end{align*}$

Das bedeutet doch, daß sich $\begin{align*} z \end{align*}$ nicht ändert, wenn $\begin{align*} x \end{align*}$ bleibt, aber $\begin{align*} y \end{align*}$ sein Vorzeichen ändert. Und das heißt wiederum, daß das "Gebirge" symmetrisch zur $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene ist.

25.08.2023, 12:59

klauss

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Ich hatte auch den Eindruck, dass noch Unklarheit über den Unterschied der Symmetrieeigenschaft der Funktion einerseits und des Integrationsbereichs andererseits herrscht. Zu den vorherigen Ausführungen daher noch folgende Ergänzung:
Angenommen der Fall $\begin{align*} f(x,-y) = - f(x,y) \end{align*}$
Wir können uns eine Ebene parallel zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Ebene durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_{S};0;0) \end{eqnarray*}$ vorstellen. In dieser Ebene hinterläßt $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ eine Schnittspur, die symmetrisch zu $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist. In dieser Ebene könnte man sich nun wie vom Zweidimensionalen gewöhnt eine $\begin{eqnarray*} dy \end{eqnarray*}$ -Flächenintegration über ein symmetrisches $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Intervall vorstellen. Wegen der Punktsymmetrie der Spur muß dabei die Flächenbilanz 0 herauskommen. Dann ändert es auch nichts mehr, wenn man $\begin{eqnarray*} x_{S} \end{eqnarray*}$ variiert und das Ergebnis 0 an jeder Stelle mit einem Faktor " $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ " zum Volumen erhebt.

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