Eindeutige Nullstellen von P_i - P_(i-2) (Legendre-Polynome)

22.08.2023, 00:11	Mathpfoerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutige Nullstellen von P_i - P_(i-2) (Legendre-Polynome) Meine Frage: Ich habe folgende Fragestellung und irgendwie hänge ich gedanklich. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} R_i= P_i - P_{i-2},i=1 \cdots i \end{eqnarray}$ i eindeutige Nullstellen im Intervall[-1,1] hat (wobei die P_i die Legendre Polynome sind) Meine Ideen: Meine Ansätze waren über: -Trennungssatz Nullstellen orthogonaler Polynome und zu schauen, ob ich einen Vorzeichenwechsel in einem Intervall erzeugen kann. -Hab versucht einen Widerspruch herzustellen mittels k-facher Nullstellen z.B. für die Eindeutigkeit $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \frac{P_i-P_{i-2}}{(x-n)^2} \, dx \end{eqnarray}$ - Hab versucht auch versucht mit der Darstellung: $\begin{eqnarray} (2i-1)\int_{-1}^{x} P_i \, dx = P_i(x)-P_{i-2}(x) \end{eqnarray}$ . Aber irgendwie komme ich nicht wirklich wieter

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