Inverses Element

23.08.2023, 18:50

KonverDiv

Inverses Element

Hallo,

Wenn ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} x^0 = e \end{eqnarray*}$ und ich gerne zeigen möchte, dass in einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (x^n)^{-1} = x^{-n} \end{eqnarray*}$ , kann man dann diesen Ansatz nutzen:

$\begin{eqnarray*} e = x^0 = x^n x^{-n} \end{eqnarray*}$ ,

oder zeigt man das induktiv? verwirrt

Danke!

23.08.2023, 19:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hängt natürlich davon ab, wie $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ in einer Gruppe überhaupt definiert ist? Ich nehme mal an, über $\begin{eqnarray*} x^{-n} := \left(x^{-1}\right)^n \end{eqnarray*}$ , oder?

In dem Fall wäre dein $\begin{eqnarray*} x^n x^{-n} = e \end{eqnarray*}$ erstmal zu beweisen, z.B. durch Induktion.

23.08.2023, 20:08

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Das hängt natürlich davon ab, wie $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ in einer Gruppe überhaupt definiert ist? Ich nehme mal an, über $\begin{eqnarray*} x^{-n} := \left(x^{-1}\right)^n \end{eqnarray*}$ , oder?

Genau so ist es.

Wenn $\begin{eqnarray*} x^{-n} = \left(x^{-1}\right)^n \end{eqnarray*}$ so definiert ist, könnte man die Regel $\begin{eqnarray*} (x^m)^n = x^{nm} = (x^n)^m \end{eqnarray*}$ verwenden um $\begin{eqnarray*} (x^n)^{-1} = x^{-n} \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Die Regel müsste man aber noch prüfen. Kann man das auch ohne die Regel beweisen?

Beweis von $\begin{eqnarray*} x^n x^{-n} = e \end{eqnarray*}$ über Induktion:

Induktionsanfang:
n = 1:

$\begin{eqnarray*} x^1 x^{-1} = x^0 = e \end{eqnarray*}$

Wir nehmen an die Behauptung gilt für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt
n --> n + 1:

$\begin{eqnarray*} x^{n+1} x^{-(n+1)} = x^{1+n} x^{-n-1} = x x^{n} x^{-n}x^{-1} = xex^{-1}= xx^{-1} = e \end{eqnarray*}$

wobei hier für die dritte Gleichung die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde.

(Ich habe hier die Regel $\begin{eqnarray*} x^m x^n = x^{m+n} \end{eqnarray*}$ verwendet)

23.08.2023, 22:51

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Was du machst ist korrekt und zeigt ein sehr gutes Verständnis für das Wesentliche. Wenn man diesen Beweis formal vollständig machen möchte, muss man nur noch die Assoziativitaet der Gruppe erwähnen und an den passenden Stellen Klammern setzen.

24.08.2023, 10:38

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank @Elvis (das ehrt und freut mich) und @HAL! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Inverses Element

Verwandte Themen