Tangente an e^x

27.08.2023, 15:28	gerdi	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente an e^x Bestimme die Punkte des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion, in denen die Tangenten durch P(1\|1) verlaufen. kriegt einer das hin, komme leider zu keiner lösung
27.08.2023, 15:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{align} \left( x, f(x) \right) \end{align}$ ein Berührpunkt, in dem eine Gerade durch $\begin{align} \left( 1,1 \right) \end{align}$ den Graphen von $\begin{align} f \end{align}$ berührt, so sind $\begin{align} \Delta x = x-1 \, , \ \ \Delta y = f(x)-1 \end{align}$ die Differenzen eines zugehörigen Steigungsdreiecks. Somit ist $\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x)-1}{x-1} \end{align}$ die Steigung der Geraden. Weil diese Gerade aber Tangente sein soll, muß diese Steigung mit $\begin{align} f'(x) \end{align}$ übereinstimmen. So erhältst du eine Gleichung. Hier läuft es auf eine transzendente Gleichung hinaus, die du mit einem technischen Werkzeug (graphikfähiger Taschenrechner, CAS) oder einem Näherungsverfahren (z.B. dem Newtonschen) lösen mußt. Auf jeden Fall ist es ratsam, dir die Situation an einer sorgfältigen Skizze vorzustellen, damit du siehst, in welcher Gegend du mögliche Lösungen suchen mußt.
27.08.2023, 16:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehen wir zur Lösung zunächst allgemein von einem Punkt $\begin{eqnarray} P(x_P \|y_P ) \end{eqnarray}$ und einem Berührpunkt $\begin{eqnarray} B(x_B\|y_B) \end{eqnarray}$ aus. Damit können wir die Geradensteigung m angeben. $\begin{eqnarray} m =\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac {y_B-y_P}{x_B-x_P} \end{eqnarray}$ Da der Wert $\begin{eqnarray} y_B \end{eqnarray}$ durch die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gegeben ist können wir das einsetzen: $\begin{eqnarray} m =\frac {f(x_B)-y_P}{x_B-x_P} \end{eqnarray}$ Die Steigung der Geraden und der Tangenten müssen im Berührpunkt übereinstimmen. Das setzen wir ein. $\begin{eqnarray} f'(x_B) =\frac {f(x_B)-y_P}{x_B-x_P} \end{eqnarray}$ Damit haben wir eine Gleichung erhalten, aus der $\begin{eqnarray} x_B \end{eqnarray}$ berechnet werden kann. Quelle meiner Weisheit: https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/tangente.pdf "5 Tangentenbestimmung von einem Punkt außerhalb"
27.08.2023, 16:34	G270823	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dir eine Skizze!
28.08.2023, 13:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wolfram Alpha löst die Gleichung $\begin{eqnarray} e^x=\frac {e^x-1} {x-1} \end{eqnarray}$ und gibt mit "Approximate forms" zwei Näherungsloesungen aus. Als App für Android gibt es "WolframAlpha - Wolfram Group LLC" kostenlos in Google Play. Es gibt keinen Grund, Wolfram Alpha classic für 3,09 € zu kaufen oder auf Alpha Pro zu erweitern. Um die Lösung zu verstehen ist eine Skizze in der Tat sehr hilfreich.

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