Gleichungssystem mit Exponentialgleichungen

31.08.2023, 13:52	severiney	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit Exponentialgleichungen Im Zuge meiner Bachelorarbeit muss ich folgende Gleichungen so auflösen, dass p und q jeweils nur noch von lamda abhängig sind: $\begin{eqnarray} p&=\frac{e^{\lambda(14-14q)}}{e^{\lambda(14-14q)}+e^{\lambda(2-q)}} \\ q&=\frac{e^{\lambda(6-6p)}}{e^{\lambda(6-6p)}+e^{\lambda(2-p)}} \end{eqnarray}$ Mathematica kommt mit "solve" nicht weiter. Bedeutet das, dass das Gleichungssystem analytisch nicht lösbar ist? Wenn dem so ist, wie muss ich vorgehen um Werte für p und q in Abhängigkeit von lamda zu finden die das Gleichungssystem lösen? Besten Dank Severin
31.08.2023, 14:15	G310823	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem mit Exponentialgleichungen Da p und q linear und im Exponenten auftreten, kann man nicht nach ihnen umstellen. Versuch mal die 1. Gleichung durch die 2. zu dividieren. Vlt. bringt das etwas.
31.08.2023, 14:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du noch nichts versucht hast, dann betrachte 1/p und 1/q. Vielleicht kommt man da weiter. WolframAlpha macht etwas, aber ich sehe noch kein Land - https://www.wolframalpha.com/input?i=p%3...%282-p%29%7D%7D
01.09.2023, 10:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In gewissen praktischen Fällen helfen Näherungen: Wenn man z.B. weiß, dass die Größe $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine sehr "kleine" Zahl ist, also $\begin{eqnarray} \lambda\approx 0 \end{eqnarray}$ , dann kann man alle e-Funktionen bis zur 1.Ordnung in einer Taylor entwicklen gemäß $\begin{eqnarray} e^{\lambda \cdot K}\approx 1+K\cdot \lambda \end{eqnarray}$ In diesem Fall sind alle e-Funktionen beseitigt und das Gleichungssystem vereinfacht sich zu $\begin{eqnarray} p \approx \tfrac{1+14\cdot (1-q)\cdot \lambda}{1+14\cdot(1-q)\cdot \lambda+1+(2-q)\cdot \lambda} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q \approx \tfrac{1+6\cdot (1-p)\cdot \lambda}{1+6\cdot(1-p)\cdot \lambda+1+(2-p)\cdot \lambda} \end{eqnarray}$
01.09.2023, 13:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem mit Exponentialgleichungen Etwas sympathischer sieht die Darstellung aus: $\begin{eqnarray} p&=\frac{e^{\lambda(14-14q)}}{e^{\lambda(14-14q)}+e^{\lambda(2-q)}}&= \frac{1}{1+e^{\lambda(13q-12)}} \\ q&=\frac{e^{\lambda(6-6p)}}{e^{\lambda(6-6p)}+e^{\lambda(2-p)}}&= \frac 1 { 1 +e^{\lambda(5p- 4)} } \end{eqnarray}$ Mit Einsetzen ist also $\begin{eqnarray} p = \frac 1 { 1 + \exp\left({\lambda( \frac {13} { 1 +e^{\lambda(5p- 4)} } -12)}\right)} \end{eqnarray}$ Vlt kann man mit viel Glück hier etwas mit der Lambert'schen W-Funktion etwas machen, aber es sieht schon brutal aus.

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