Euler-Lagrange-Gleichung mit g(x) bei der Brachistochrone

01.09.2023, 14:38	TheWind5urfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Lagrange-Gleichung mit g(x) bei der Brachistochrone Meine Frage: Guten Tag, ich schreibe gerade über die Brachystochrone. Bisher habe ich diese mit der Euler Lagrange Gleichung ermittelt, speziell mit dem dritten Sonderfall $\begin{eqnarray} F(...)-y'(x)\cdot \tfrac{dF(...)}{dy'(x)}=c \end{eqnarray}$ und als Ergebnis eine Zykloide erhalten, was ja auch passt. Der Kandidat hierfür war: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{b}\tfrac{\sqrt{1+(y'(x))^2}}{\sqrt{y(x)}} \end{eqnarray}$ Nun soll ich die Gewichtskraft als weitere Funktion mit einfließen lassen. D.h. unser Funktional wäre statt $\begin{eqnarray} F(x,y(x),y'(x) \end{eqnarray}$ jetzt $\begin{eqnarray} F(x,y(x),y'(x),g(x)) \end{eqnarray}$ , wenn ich das erstmal so richtig verstanden habe. Meine bisherige ELG war wie bekannt $\begin{eqnarray} \tfrac{dF(...)}{dy} - \tfrac{d}{dx} \tfrac{dF(...)}{dy'}=0 \end{eqnarray}$ , wobei (...) den genannten Argumente entspricht. Als neue ELGL erhalte ich: $\begin{eqnarray} \tfrac{dF}{dy} +\tfrac{dF}{dg}- \tfrac{d^2F}{dydy'} \cdot y' - \tfrac{dF}{dy'^2} \cdot y''- \tfrac{d^2F}{dgdy'} \cdot g' =0 \end{eqnarray}$ Wie mache ich nun von hier aus weiter? Meine Ideen: Ich habe meinen neuen Kandidaten $\begin{eqnarray} \int_{0}^{b}\tfrac{\sqrt{1+(y'(x))^2}}{\sqrt{g(x)y(x)}} \end{eqnarray}$ dementsprechend ausdifferenziert und eingesetzt, erhalte aber natürlich einen ewig langen Term. Die Sonderfälle kann ich nicht nutzen, da mir bis auf x (keine explizite Abhängigkeit) keine Variable fehlt. Den Ausdruck kann ich gerne auf Anfrage als Foto hier reinstellen. Generell möchte ich wissen, ob mein Ansatz so stimmt oder ob ich etwas wichtiges missachte. Vielleicht hat jemand auch einen Ansatz für die Lösung der neuen Gleichung.
02.09.2023, 12:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Euler Lagrange Gleichung mit g(x) bei der Brachistochrone Du hast ein falsches Verständnis davon wie man zur Euler-Lagrange Gleichung kommt. Man differenziert $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ () statt nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und sucht dort nach Nullstellen (oder ggf. mit speziellen Wert $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ , um lineare Störungstheme einzuarbeiten.) D.h. die Euler-Lagrange-Gleichung ist identisch (mit dem modifizierten $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ) statt sich strukturell zu ändern. () Im Sinne der Gateaux bzw Frechet-Ableitung.
21.09.2023, 16:49	TheWind5urfer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Euler Lagrange Gleichung mit g(x) bei der Brachistochrone Hallo ifindu, vielen Dank für die Antwort. Dann sagst du also, dass die ELG einfach auch auf die neue Funktion angewandt wird? Ich wundere mich nur, da meine Professorin sagt, dass sich die ELG bei der partiellen Integration (Herleitung der ELG) nochmal ändert. Aber das kann doch nicht sein, wenn die dort behandelte Funktion weiterhin nur von den normalen drei Variablen (Funktionen) abhängig ist.
21.09.2023, 16:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Euler Lagrange Gleichung mit g(x) bei der Brachistochrone Sofern keine Abhängigkeit zwischen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ gegeben ist, darf sich nichts ändern. Ich kann ja einfach definieren $\begin{eqnarray} G(x, y, z) = F(x, y, z, g(x)) \end{eqnarray}$ definieren. Dann ist $\begin{eqnarray} G(x, y(x), y'(x)) = F(x, y(x), y'(x), g(x)) \end{eqnarray}$ . Man verallgemeinert ja nicht einmal das Problem, da das vorige Problem schon von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhing. Möglicherweise schon implizit von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ dadurch. Bspw. könnte sein $\begin{eqnarray} F(x, y(x), y'(x)) = g(x) y(x) \end{eqnarray}$ . Verbietet ja niemand. Es ändert sich alles, wenn du statt $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ etwas wie $\begin{eqnarray} g(y(x)) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y(g(x)) \end{eqnarray}$ hättest. Aber ein $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , das nur von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt ...

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