Zerlegung Blockmatrix

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02.09.2023, 12:48	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung Blockmatrix Hallo, $\begin{eqnarray} M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_p & 0 \\ D^{-1}C & I_q \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Kann man obigen Ausdruck weiter zerlegen, sodass anstelle von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ in der mittleren Matrix $\begin{eqnarray} D - CA^{-1}B \end{eqnarray}$ steht, also $\begin{eqnarray} M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{bmatrix}X\begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 &D - CA^{-1}B \end{bmatrix}Y\begin{bmatrix} I_p & 0 \\ D^{-1}C & I_q \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ , für weitere Matrizen $\begin{eqnarray} X, Y \end{eqnarray}$ ? Grüße Romaxx
03.09.2023, 13:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung Blockmatrix Versuch mal ob du mit einer $\begin{eqnarray} 2\times 2 \end{eqnarray}$ Matrix M ein Gegenbeispiel findest, d.h. $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ einfach Skalare bzwl $\begin{eqnarray} 1 \times 1 \end{eqnarray}$ Matrizen. Ich würde tippen es geht nicht. Wenn $\begin{eqnarray} A,B,C,D = 1 \end{eqnarray}$ sind, dann ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nicht die Nullmatrix, aber auf der rechten Seite ist die mittlere Matrix dann dann die Nullmatrix und damit das ganze Produkt. Edit: Wichtiges "nicht" ergänzt.
03.09.2023, 13:39	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke IfindU, du hast ein Gegenbeispiel gefunden. Wie sieht es im Fall $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ invertierbar aus? Grüße Romaxx
03.09.2023, 17:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte, ich wüsste nicht wie man dran gehen kann. Was willst du damit erreichen?
03.09.2023, 19:33	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte untersuchen, welche strukturelle Zerlegungen eine Blockmatrix haben kann. Motiviert bin ich von der Zerlegung im Zusammenhang mit dem Schur-Komplement. Siehe englische Wiki. Daher habe ich die erste Zerlegung. Mir würde schon eine Zerlegung $\begin{eqnarray} M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = E\begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 &D - CA^{-1}B\end{bmatrix} F \end{eqnarray}$ , für Matrizen $\begin{eqnarray} E, F \end{eqnarray}$ genügen. Danke für deine Bemühungen.
04.09.2023, 08:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} M' \end{eqnarray}$ invertierbar ist, dann ist $\begin{eqnarray} EM'F \end{eqnarray}$ beliebig. Beweis: Definiere $\begin{eqnarray} E = (M')^{-1} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} EM' F=F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ hat jede Form die du dir wünscht. Aus praktischer Sicht bringt es dir nichts, denn die Zerlegung von Schur (soweit ich Wiki verstanden hab) hilft dabei Gleichungssysteme zu lösen. Wenn du aufwändig das Inverse berechnen musst, hast du nichts gewonnen. Bzgl. es einfacher Zeilen-/Spaltenoperationen zu schaffen, wie es Schurs Zerlegung macht, sehe ich gerade nichts. Mir fehlt aber auch intuitives Verständnis für Matrizen.
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04.09.2023, 13:33	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, ich wollte mich bewusst etwas allgemeiner an die Sache heranwagen. Du schließt absolut richtig! Meine eigentliche Annahme für $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist, dass sie symmetrisch und positiv definit ist. Invertierbarkeit folgt da ja draus. Außerdem suche ich eine symmetrische Zerlegung, in der $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ transponierte voneinander sind und bestenfalls sich aus $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ (etwaiger Inversen) zusammensetzen. Grüße, Romaxx
04.09.2023, 15:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe spontan keine Idee, und mir fehlt die Lust mich einem Problem zu beschäftigen, das sich mit jedem Post ändert.
04.09.2023, 17:27	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, ich wollte dich nicht demotivieren. Mir war die Tragweite der Annahmen in meinem ersten Post nicht bewusst. Ich wollte mich aber auch nicht von Anfang an auf diesen Spezialfall einschränken, weil ich hoffte, mehr daraus zu lernen. Du hast mir mit deinen Antworten schon mehr als ein Mal geholfen, danke dafür!

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