Zerlegung Blockmatrix

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung Blockmatrix
Hallo,



Kann man obigen Ausdruck weiter zerlegen, sodass anstelle von in der mittleren Matrix steht, also

, für weitere Matrizen ?

Grüße Romaxx
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung Blockmatrix
Versuch mal ob du mit einer Matrix M ein Gegenbeispiel findest, d.h. einfach Skalare bzwl Matrizen.

Ich würde tippen es geht nicht. Wenn sind, dann ist nicht die Nullmatrix, aber auf der rechten Seite ist die mittlere Matrix dann dann die Nullmatrix und damit das ganze Produkt.

Edit: Wichtiges "nicht" ergänzt.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke IfindU,

du hast ein Gegenbeispiel gefunden.

Wie sieht es im Fall invertierbar aus?

Grüße Romaxx
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte, ich wüsste nicht wie man dran gehen kann. Was willst du damit erreichen?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte untersuchen, welche strukturelle Zerlegungen eine Blockmatrix haben kann.
Motiviert bin ich von der Zerlegung im Zusammenhang mit dem Schur-Komplement.
Siehe englische Wiki.
Daher habe ich die erste Zerlegung.
Mir würde schon eine Zerlegung

, für Matrizen genügen.

Danke für deine Bemühungen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn invertierbar ist, dann ist beliebig. Beweis: Definiere . Dann ist und hat jede Form die du dir wünscht.

Aus praktischer Sicht bringt es dir nichts, denn die Zerlegung von Schur (soweit ich Wiki verstanden hab) hilft dabei Gleichungssysteme zu lösen. Wenn du aufwändig das Inverse berechnen musst, hast du nichts gewonnen.

Bzgl. es einfacher Zeilen-/Spaltenoperationen zu schaffen, wie es Schurs Zerlegung macht, sehe ich gerade nichts. Mir fehlt aber auch intuitives Verständnis für Matrizen.
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo IfindU,

ich wollte mich bewusst etwas allgemeiner an die Sache heranwagen.

Du schließt absolut richtig!

Meine eigentliche Annahme für ist, dass sie symmetrisch und positiv definit ist. Invertierbarkeit folgt da ja draus.

Außerdem suche ich eine symmetrische Zerlegung, in der und transponierte voneinander sind und bestenfalls sich aus (etwaiger Inversen) zusammensetzen.

Grüße, Romaxx
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe spontan keine Idee, und mir fehlt die Lust mich einem Problem zu beschäftigen, das sich mit jedem Post ändert.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich wollte dich nicht demotivieren. Mir war die Tragweite der Annahmen in meinem ersten Post nicht bewusst. Ich wollte mich aber auch nicht von Anfang an auf diesen Spezialfall einschränken, weil ich hoffte, mehr daraus zu lernen.

Du hast mir mit deinen Antworten schon mehr als ein Mal geholfen, danke dafür!
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