Integration durch Substitution

03.09.2023, 10:15

Roman_F

Integration durch Substitution

Meine Frage:
Ich will mit u = a^(2x) substituieren.
Wie komme ich auf
du = ln(a^2) * a^(2x) dx (aus den Lösungen)?
Ich komme auf untenstehendes Resultat. Wie seht ihr das?

Meine Ideen:
a^(2x) = u
x = ln(u) / ln(a^2)
x' = 1 / (ln(a^2) * u)
dx = 1 / (u * ln(a^2))

03.09.2023, 10:33

klauss

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RE: Integration durch substitution
Im Prinzip kommt in beiden Fällen dasselbe raus, aber Du solltest nicht den Ableitungsstrich verwenden, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} \end{eqnarray*}$ hinschreiben und dann einmal festlegen, ob Du nach $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ oder nach $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ auflösen willst.

03.09.2023, 11:01

Roman_F

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RE: Integration durch substitution
Aber wie komme ich auf die obere 'Version'?

03.09.2023, 11:34

klauss

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RE: Integration durch substitution
Das wäre dann
$\begin{eqnarray*} u=a^{2x}=e^{\ln\left(a^{2x}\right) } =e^{\ln\left(a^{2}\right)^{x} } =e^{x \cdot \ln\left(a^{2}\right)} \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet, also
$\begin{eqnarray*} u'=\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

04.09.2023, 09:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Roman_F
dx = 1 / (u * ln(a^2))

Hier hast du was vergessen, korrekt wäre $\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{{\color{red}\dd u}}{u\cdot \ln\left(a^2\right)} \end{eqnarray*}$ .

Und das ist umgestellt $\begin{eqnarray*} \dd u = u\cdot \ln\left(a^2\right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , was mit $\begin{eqnarray*} u = a^{2x} \end{eqnarray*}$ auf dasselbe Resultat wie oben hinausläuft.

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