Kongruenzen

03.09.2023, 23:18

luliu

Kongruenzen

Meine Frage:
Hallo!

ich habe folgende Aufgabe zugesendet bekommen und mich würde interessieren, wie ich hier prüfen kann, ob die wirklich kongruent sind?

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war den 5. Kongruenzsatz anzuwenden also a kongruent b mod m ist gleich a^n kongruent b^n mod m.
Dann würde ich also z.B. bei der ersten Kongruenzaussage wie folgt vorgehen:
5^113 kongruent 5 Mod 113 ?> 5^113 kongruent 5^113 Mod 113 ?> 5 kongruent 5 Mod 113 und somit wären beide dann kongruent zueinander?!

04.09.2023, 06:06

nichteuerernst

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RE: Kongruenzen
Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt $\begin{eqnarray*} 5^{112}\equiv\; 1 \;mod\; 5 \end{eqnarray*}$ .

Tipp zur zweiten Aufgabe: Zahlen, die bei Teilung durch 2 den Rest 1 lassen, sind ungerade.

04.09.2023, 09:54

luliu

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RE: Kongruenzen
Danke erstmal!
Dann weiß ich schon mal dass die Zahlen beim zweiten nicht kongruent sind.
Beim ersten hab ich leider noch nicht den Überblick wie man zu welcher Erkenntnis kommt

04.09.2023, 10:51

HAL 9000

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Mit "Kleiner Fermat" ist das hier gemeint: https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz, hier auf $\begin{eqnarray*} p=113 \end{eqnarray*}$ und die nicht durch dieses $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbare Zahl $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ angewandt.

04.09.2023, 10:53

Elvis

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Der kleine Satz von Fermat ist ein Korollar aus dem Satz von Lagrange, nach dem die Ordnung jedes Gruppenelements die Gruppenordnung teilt. Die multiplikative Gruppe des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ hat die Ordnung $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} a^{p-1}=1\,\forall a\in \mathbb F_p^{\times} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} 0^{p-1}=0 \end{eqnarray*}$ ist trivial. Wenn man dann diese beiden Gleichungen mit a=a multipliziert, hat man $\begin{eqnarray*} a^p=a\, \forall a\in \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ . Für jeden endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q, q=p^n, p\in \mathbb P, n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ geht der Beweis ganz genau so.

22.10.2023, 07:56

luliu

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Total vergessen zu antworten. Ich danke allen, konnte beide lösen.

23.10.2023, 22:31

mYthos

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RE: Kongruenzen

Zitat:

Original von nichteuerernst
Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt $\begin{eqnarray*} 5^{112}\equiv\; 1 \;mod\; 5 \end{eqnarray*}$ .
...

Typo! Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} 5^{112}\equiv\; 1 \;mod\; 113 \end{eqnarray*}$

mY+

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