Potenzmenge und Gruppe

07.09.2023, 15:54

KonverDiv

Potenzmenge und Gruppe

Hallo,

wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge ist und $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge.

Bildet dann $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ mit der binären Operation $\begin{eqnarray*} A * B = A \cap B \end{eqnarray*}$ eine Gruppe?

Neutrales Element müsste $\begin{eqnarray*} A \cap \left\{...\right\} = A \end{eqnarray*}$ erfüllen, das ginge wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selbst das neutrale Element wäre, jedes Element der Menge $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ müsste dann neutral zu sich selbst sein d.h. ein neutrales Element kann es hier nicht geben, oder? Das heißt dann, das $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ keine Gruppe bildet.

Bildet dann $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ mit der binären Operation $\begin{eqnarray*} A * B = A \cup B \end{eqnarray*}$ eine Gruppe?

Neutrales Element müsste $\begin{eqnarray*} A \cup \left\{...\right\} = A \end{eqnarray*}$ erfüllen, das ginge mit $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ . Für das inverse Element müsste aber gelten $\begin{eqnarray*} A \cup \left\{...\right\} = \left\{...\right\} \cup A = \emptyset \end{eqnarray*}$ , das geht aber nicht, denn die Vereinigung ist immer nicht leer. Ich würde daher sagen, dass $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ hier keine Gruppe bildet.

Was meint Ihr?

07.09.2023, 16:03

HAL 9000

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Die Argumentation zu $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ finde ich in Ordnung, schön klar strukturiert.

Genau genommen kann man bei $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ völlig analog verfahren: Neutrales Element kann hier allenfalls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein, wo dann aber $\begin{eqnarray*} A\cap A^{-1}=X \end{eqnarray*}$ für echte Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht möglich ist.

Die Logik in deiner Argumentation zu $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ verstehe ich ehrlich gesagt nicht. verwirrt

07.09.2023, 16:13

IfindU

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Ich wäre nicht ganz happy mit der zweiten Aufgabe. Falls $\begin{eqnarray*} X = \emptyset \end{eqnarray*}$ , dann ist es die triviale Gruppe. Ohne "konkretes" Beispiel, dass es kein Inverses gibt, übersieht man solche Spezialfälle leicht.

07.09.2023, 16:13

KonverDiv

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Hallo @HAL 9000,

vielen Dank für deine hilfreiche Antwort! Freude

Zu $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ hatte ich nicht berücksichtig, dass man $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ja selbst noch verwenden könnte, um das neutrale Element zu bilden. Aber dann müssten wir für das inverse Element $\begin{eqnarray*} A \cap A^{-1} = X \end{eqnarray*}$ haben, was wir nicht erfüllen können.

08.09.2023, 07:23

Elvis

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Eine wichtige Eigenschaft jeder Gruppe sind die Kürzungsregeln, die aus der Existenz von inversen Elementen und der Assoziativität folgen.
$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z: xy=xz\Rightarrow y=(x^{-1}x)y=x^{-1}(xy)=x^{-1}(xz)=(x^{-1}x)z=z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z: xz=yz\Rightarrow x=x(zz^{-1})=(xz)z^{-1}=(yz)z^{-1}=y(zz^{-1})=y \end{eqnarray*}$

Angewandt auf eine beliebige Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und ihre Potenzmenge $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ , also für alle $\begin{eqnarray*} A\in P(X) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} P(X \end{eqnarray*}$ ) eine Gruppe ist
$\begin{eqnarray*} \forall A\subseteq X: (X=A\cup X=\emptyset\cup X)\Rightarrow \forall A\subseteq X: A=\emptyset\Rightarrow X=\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall A\subseteq X: (A=A\cap A=A\cap X)\Rightarrow \forall A\subseteq X: A=X\Rightarrow X=\emptyset \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} P(\emptyset) \end{eqnarray*}$ mit der Operation $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ die triviale Gruppe mt einem Element ist, hat IfindU schon gesagt. Also ist $\begin{eqnarray*} (P(X),\cup) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (P(X),\cap) \end{eqnarray*}$ genau für $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.

08.09.2023, 08:37

KonverDiv

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Guten Tag @Elvis,

eine kurze Rückfrage:

$\begin{eqnarray*} \forall A\subseteq X: (A=A\cap A=A\cap X)\Rightarrow \forall A\subseteq X: A=X \textcolor{red}{\Rightarrow X=\emptyset} \end{eqnarray*}$

Warum das daraus folgt sehe ich noch nicht ganz verwirrt

08.09.2023, 10:31

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq X \end{eqnarray*}$ ist trivial
$\begin{eqnarray*} ((\emptyset \subseteq X)\wedge (\forall A\subseteq X:A=X))\Rightarrow \emptyset=X \end{eqnarray*}$

Die andere Folgerung benutzt genau so die triviale Aussage $\begin{eqnarray*} X\subseteq X \end{eqnarray*}$

08.09.2023, 10:46

HAL 9000

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Also ich müsste bei einem Konstrukt wie

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \forall A\subseteq X: (A=A\cap A=A\cap X)\Rightarrow \forall A\subseteq X: A=X\Rightarrow X=\emptyset \end{eqnarray*}$

erstmal auseinanderklamüsern, welche Prioritätsreihenfolge die Logikoperatoren haben. Da bin ich zugegeben nicht sattelfest. Augenzwinkern

Anscheinend ist es so gemeint: $\begin{eqnarray*} \Big[ \forall A\subseteq X: (A=A\cap A=A\cap X)\Rightarrow \forall A\subseteq X: A=X\Big] \Rightarrow X=\emptyset \end{eqnarray*}$

08.09.2023, 12:24

Elvis

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oder so
$\begin{eqnarray*} (\forall A\subseteq X: A=A\cap A=A\cap X)\Rightarrow (\forall A\subseteq X: A=X)\Rightarrow (X=\emptyset) \end{eqnarray*}$
zuerst nach der Kürzungsregel, dann reine Mengenlehre

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