Potenzmenge und Gruppe

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KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzmenge und Gruppe
Hallo,

wenn eine Menge ist und die Potenzmenge.

Bildet dann mit der binären Operation eine Gruppe?

Neutrales Element müsste erfüllen, das ginge wenn selbst das neutrale Element wäre, jedes Element der Menge müsste dann neutral zu sich selbst sein d.h. ein neutrales Element kann es hier nicht geben, oder? Das heißt dann, das keine Gruppe bildet.

Bildet dann mit der binären Operation eine Gruppe?

Neutrales Element müsste erfüllen, das ginge mit . Für das inverse Element müsste aber gelten , das geht aber nicht, denn die Vereinigung ist immer nicht leer. Ich würde daher sagen, dass hier keine Gruppe bildet.


Was meint Ihr?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation zu finde ich in Ordnung, schön klar strukturiert.

Genau genommen kann man bei völlig analog verfahren: Neutrales Element kann hier allenfalls sein, wo dann aber für echte Teilmengen von nicht möglich ist.

Die Logik in deiner Argumentation zu verstehe ich ehrlich gesagt nicht. verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wäre nicht ganz happy mit der zweiten Aufgabe. Falls , dann ist es die triviale Gruppe. Ohne "konkretes" Beispiel, dass es kein Inverses gibt, übersieht man solche Spezialfälle leicht.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @HAL 9000,

vielen Dank für deine hilfreiche Antwort! Freude

Zu hatte ich nicht berücksichtig, dass man ja selbst noch verwenden könnte, um das neutrale Element zu bilden. Aber dann müssten wir für das inverse Element haben, was wir nicht erfüllen können.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine wichtige Eigenschaft jeder Gruppe sind die Kürzungsregeln, die aus der Existenz von inversen Elementen und der Assoziativität folgen.



Angewandt auf eine beliebige Menge und ihre Potenzmenge gilt für alle , also für alle , falls ) eine Gruppe ist



Dass mit der Operation oder die triviale Gruppe mt einem Element ist, hat IfindU schon gesagt. Also ist und genau für eine Gruppe.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag @Elvis,

eine kurze Rückfrage:



Warum das daraus folgt sehe ich noch nicht ganz verwirrt
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist trivial


Die andere Folgerung benutzt genau so die triviale Aussage
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich müsste bei einem Konstrukt wie

Zitat:
Original von Elvis

erstmal auseinanderklamüsern, welche Prioritätsreihenfolge die Logikoperatoren haben. Da bin ich zugegeben nicht sattelfest. Augenzwinkern


Anscheinend ist es so gemeint:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

oder so

zuerst nach der Kürzungsregel, dann reine Mengenlehre
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