Beweis GL(2,R) ist eine Gruppe

08.09.2023, 16:30	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis GL(2,R) ist eine Gruppe Hallo, ich möchte beweisen, dass $\begin{eqnarray} GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ eine Gruppe bezüglich der Matrix Multiplikation ist. dazu möchte ich verwenden, (i) dass für $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Matrizen gilt $\begin{eqnarray} det(AB) = det(A)det(B) \end{eqnarray}$ und (ii) dass eine Matrix in $\begin{eqnarray} GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ist, genau dann wenn die Determinante von A nicht Null ist. Abgeschlossenheit: Sei $\begin{eqnarray} C = AB \end{eqnarray}$ , dann gilt mit (i), dass $\begin{eqnarray} det(C) = det(AB) = det(A)det(B) \neq 0 \end{eqnarray}$ , weil beide Matrizen $\begin{eqnarray} A,B \in GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ eine Determinante ungleich Null haben und damit $\begin{eqnarray} C \in GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , wegen (ii). Neutrales Element: Sei $\begin{eqnarray} det(AI) = det(A)det(I) \neq 0 \end{eqnarray}$ , dann fungiert die $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Einheitsmatrix als neutrales Element, sie ist ebenfalls ein Element von $\begin{eqnarray} GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , weil ihre Determinante ungleich Null ist, wegen (ii). Inverses Element: Sei $\begin{eqnarray} A \in GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , die Inverse existiert, da die Determinante von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach (ii) ungleich Null ist, also gilt $\begin{eqnarray} det(I) = det(A A^{-1}) = det(A)det(A^{-1}) \neq 0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} A^{-1} \in GL(2,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ Assoziativ: Würde ich zeigen über $\begin{eqnarray} det(AB)det(C) = det(A)det(B)det(C) = det(A)det(BC) \end{eqnarray}$ Meine Frage, kann man das so machen?
08.09.2023, 17:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man alles so machen. Außer Assoziativität. Du willst nicht zeigen, dass die Determinante assoziativ ist, sondern das Matrixprodukt. Entweder argumentierst du über die Assoziativität der Multiplikation für alle Matrizen (nicht nur invertierbare), und damit gilt es insb. für die invertierbaren, oder du schreibst die Definitionen auf und argumentierst, dass Summen und Produkte von Skalaren assoziativ sind. Üblicher ist ersteres.
08.09.2023, 17:21	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @IfindU, danke für deine Antwort! Entweder argumentierst du über die Assoziativität der Multiplikation für alle Matrizen Das läuft dann darauf hinaus, dass man sagt, dass die Matrizen Multiplikation assoziativ ist und dies natürlich auch für invertierbare Matrizen gilt (schreibst du ja auch). Das wäre dann alles?
08.09.2023, 17:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann passt alles. Man kann recht einfach alles ohne die Determinante beweisen, sondern direkt mit der Invertierbarkeit der Matrizen. Das fände ich etwas eleganter, aber ich bin sicher daran scheiden sich auch die Geister

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