Modulgruppen

10.09.2023, 15:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulgruppen Warum ist $\begin{eqnarray} \|LM\|\le \|L\|\cdot \|M\|\, (\forall L, M\in Mat(2;\mathbb R)) \end{eqnarray}$ für den "Betrag" $\begin{eqnarray} \|M\|:=\sqrt {Sp(M^tM)} =\sqrt {a^2+b^2 +c^2 +d^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end {pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Durch nachrechnen finde ich keine Antwort. Spielt hier die Schwarzsche Ungleichung eine Rolle, wenn ja, wie? Nachtrag. Ist sie das ganz einfach, weil die Matrix ein Vektor ist?
10.09.2023, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Nachrechnen geht's. Die Differenz $\begin{align} \left\| L \right\|^2 \cdot \left\| M \right\|^2 - \left\| LM \right\|^2 \end{align}$ kann als Summe von 4 Quadraten geschrieben werden. Hinter jedem Quadrat steckt die zweite binomische Formel in der Art $\begin{align} a^2 u^2 + b^2 v^2 - 2abuv = \left( au - bv \right)^2 \end{align}$
10.09.2023, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das ist es. Ich hatte überall nur Summen stehen und kam trotz Ungleichung nicht auf die Idee, die Differenz zu bilden.
10.09.2023, 21:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dahinter verbirgt sich, dass die Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist und man kann es auch über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung beweisen, s. Wikipedia

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