Wahrscheinlichkeit maximieren

10.09.2023, 22:36

Malte2006

Wahrscheinlichkeit maximieren

Meine Frage:
Stell dir vor, ich werfe 10 Münzen, und du musst die genaue Reihenfolge (z.b. KKZZK...K) in einem Versuch erraten. Du darfst eine Ja/Nein-Frage stellen. Was fragst du, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, die Reihenfolge zu erraten?

Meine Ideen:
Kann man auf so eine Frage überhaupt mit Gewissheit die beste Antwortmöglichkeit angeben?
Meine Frage wäre: Gab es unter den Würfen genau 5 Köpfe und 5 Zahlen?
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis wäre ca. p=0.06 und damit erhalte ich für die Wahrscheinlichkeit die richtige Sequenz zu erraten: $\begin{eqnarray*} \frac{p}{\frac{10!}{5!^2}}+\frac{1-p}{2^{10}-\frac{10!}{5!^2}}\approx 0.2% \end{eqnarray*}$

Wer kann das überbieten

11.09.2023, 05:14

adiutor62

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RE: Wahrscheinlichkeit maximieren
Die WKT, 5 K und 5 Z, beträgt:
(10über5)*0,5^10 = 0,2461

Die WKT, die richtige Reihenfolge zu erraten ist 1/2^10 = 0,000977

Zitat:

Was fragst du, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, die Reihenfolge zu erraten?

Was genau meinst du damit?

11.09.2023, 07:55

Ulrich Ruhnau

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RE: Wahrscheinlichkeit maximieren

Zitat:

Original von Malte2006
Meine Frage:
Stell dir vor, ich werfe 10 Münzen, und du musst die genaue Reihenfolge (z.b. KKZZK...K) in einem Versuch erraten. Du darfst eine Ja/Nein-Frage stellen. Was fragst du, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, die Reihenfolge zu erraten?

Nach 10 Würfen hat das Ergebnis eine Informationsmenge von 10 Bit. Wenn du die Ja-Nein-Frage sinnvoll stellst, hast du noch 9 Bit übrig, die es zu erraten gilt. Du könntest dich zum Beispiel nach dem Ausgang des ersten Münzwurfs erkundigen. Dann musst du nur noch die restlichen 9 Würfe erraten.

11.09.2023, 18:09

HAL 9000

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Interessanterweise ist es (nahezu) egal, welche Frage man stellt:

Nehmen wir einen Laplaceschen W-Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ bestehend aus $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen. Die bewusste Frage lautet nun allgemein: "Tritt Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein?", wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nichttrivial ist, also weder unmögliches noch sicheres Ereignis, d.h. $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{M}{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<M<N \end{eqnarray*}$ .

Tritt nun $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein, so wählt man eins aus den $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Elementarereignissen, die zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gehören. Tritt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hingegen nicht ein, so wählt man eins aus den $\begin{eqnarray*} N-M \end{eqnarray*}$ Elementarereignissen, die nicht zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gehören - was sonst. Augenzwinkern

Erratewahrscheinlichkeit ist somit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{M}\cdot P(A) + \frac{1}{N-M}\cdot P(A^c) \stackrel{!}{=} \frac{2}{N} \end{eqnarray*}$ , ganz egal wie groß $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ strukturiert ist.

Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray*} N=2^{10} \end{eqnarray*}$ und somit immer $\begin{eqnarray*} p = \frac{2}{N} = \frac{1}{512} \approx 0.195\% \end{eqnarray*}$ .

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