Abgeschlossenheit

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11.09.2023, 15:22	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit Meine Frage: Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei A ? X. Zeige die folgenden Aussage - A (Menge Aller Berührungspunkte) ist abgeschlossen. Meine Ideen: Meine Idee (Ansatz bis jetzt)
12.09.2023, 07:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Logik ist nicht ganz klar, es fehlen ein paar Quantoren und Klammern, der letzte Schluss ist noch nicht begründet, und die Formeln sind nicht alle richtig. Du scheinst auf dem richtigen Weg zu sein, es könnte hilfreich sein, zuerst einmal mit Worten zu formulieren, was du geschrieben hast und dann einen teilweise formalen Beweis daraus zu machen.
12.09.2023, 12:19	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hei, das hab ich schon gemacht, aber ich häng dabei irgendwie weiß nicht wie ich das Problem anders formulieren soll?!
12.09.2023, 13:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine Summe von Mengen sondern eine Vereinigung. Nach de Morgan ist das Komplement der Vereinigung der Durchschnitt der Komplemente. Also x im Abschluss von A genau dann wenn x nicht im Durchschnitt von A^c und (dA)^c. Das korrigiert und ergänzt deine vorletzte Zeile. Logisch nicht nur Implikationen sondern Aequivalenzen. Vielleicht kommst du mit dieser Korrektur schon weiter, wenn nicht, dann bis heute Abend.
12.09.2023, 14:27	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du so?
12.09.2023, 15:50	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
oder meintest du es so weil du Durchschnitt geschrieben hast (ich hoffe ich darf "du" sagen!) ansonsten Entschuldigung
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12.09.2023, 16:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind hier alle per du, und wir heißen dich willkommen. Je länger ich darüber nachdenke, desto verwirrender wird alles, deshalb möchte ich meine Verwirrung durch einen Beweisversuch beenden. das ist auch hier erlaubt, weil du schon so nahe an einer Lösung bist. $\begin{eqnarray} y\in \overline A\Leftrightarrow y\in A\cup dA \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} x\in (\overline A)^c\Leftrightarrow x\in (A\cup dA)^c=A^c\cap (dA)^c\Leftrightarrow x\notin A \wedge x\notin dA \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z\in dA \Leftrightarrow \forall \epsilon >0:U_{\epsilon}(z)\cap A\ne \emptyset \wedge U_{\epsilon}(z)\cap A^c\ne \emptyset \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} z\notin dA \Leftrightarrow \exists \epsilon >0:U_{\epsilon}(z)\cap A = \emptyset \vee U_{\epsilon}(z)\cap A^c = \emptyset \end{eqnarray}$ Jetzt kommt der Clou. $\begin{eqnarray} x\notin A\Rightarrow x\in A^c\Rightarrow \forall \epsilon>0: x\in U_{\epsilon}(x)\cap A^c\Rightarrow U_{\epsilon}(x)\cap A^c\ne \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\notin dA \Rightarrow \exists \epsilon >0:U_{\epsilon}(x)\cap A = \emptyset \end{eqnarray}$ qed Was lernen wir daraus ? Man muss immer wieder die benötigten Definitionen aufschreiben, wenn man einen Beweis führen will. ("Man muss" heißt genauer "Ich muss".) $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ habe ich benutzt, um allgemein über Definitionen nachzudenken. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ixt von Anfang bis Ende ein festes $\begin{eqnarray} x\in (\overline A)^c \end{eqnarray}$ .
12.09.2023, 17:23	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hei, wirklich vielen dank, das hat mir sehr geholfen bin jetzt auch mit einem Kommilitonen auf dasselbe Ergebnis gekommen!
12.09.2023, 19:07	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest mir nicht zufällig bei meiner anderen Frage Topologische Begriffe Beispiel helfen?
13.09.2023, 10:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Typologische Begriffe Abgeschlossenheit Eine Alternative mit Folgen: Angenommen, $\begin{eqnarray} (\overline A)^c \end{eqnarray}$ ist nicht offen, d.h. es gibt $\begin{eqnarray} b \in (\overline A)^c \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} U_\epsilon(b) \cap \overline A \neq \emptyset \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ . D.h. für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} U_{\frac 1 n} \cap \overline A \neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Wähle ein beliebiges Element $\begin{eqnarray} b_n \in U_{\frac 1 n} \cap (\overline A) \end{eqnarray}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray} b_n \to b \end{eqnarray}$ , und weil $\begin{eqnarray} \overline A \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist, gilt $\begin{eqnarray} b \in \overline A \end{eqnarray}$ . Widerspruch dazu, dass es im Komplement lag.

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