Wahrscheinlichkeit Würfelspiel

12.09.2023, 20:44	Lphmar	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Würfelspiel Meine Frage: Anna und Bernd spielen ein Würfelspiel, wobei Anna mit 30? und Bernd mit 15? startet. Nun würfeln sie nacheinander bis einer von beiden kein Geld mehr übrig hat: Falls eine 1 oder 2 gewürfelt wird, gibt Bernd 1? an Anna und falls eine 3,4,5,6 erscheint, erhält Bernd 1? von Anna. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Bernd gewinnt? Meine Ideen: Übersetzt, heißt das ja Bernd gewinnt eine Runde zu 2/3 und Anna zu 1/3, aber wie ich die Bedingung, dass einer den Wert 0 erreicht festhalten soll, ist mir nicht wirklich klar.
13.09.2023, 15:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summe beider Guthaben ist zu jedem Spielzeitpunkt gleich $\begin{eqnarray} n=45 \end{eqnarray}$ Euro, und Bernd gewinnt einen Einzelwurf mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} q=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} p_n(k) \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit, dass Bernd gewinnt, wenn er mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Euro startet. Klar sind die beiden Randwerte $\begin{eqnarray} p_n(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_n(n)=1 \end{eqnarray}$ sowie dazwischen die Rekursion $\begin{eqnarray} p_n(k) = (1-q)\cdot p_n(k-1) + q\cdot p_n(k+1) \end{eqnarray}$ Die Lösung dafür lautet $\begin{eqnarray} p_n(k) = \frac{\left(\frac{1}{q}-1\right)^k-1}{\left(\frac{1}{q}-1\right)^n-1} \end{eqnarray}$ (Beweis z.B. per Vollständiger Induktion), zumindest im Fall $\begin{eqnarray} q\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p_{45}\left(15\right) = \frac{1\,073\,741\,824}{1\,073\,774\,593} \approx 0.9999695 \end{eqnarray}$ . Interessanterweise ist bereits $\begin{eqnarray} p_{45}(1) > \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , also selbst wenn Anna mit 44 und Bernd mit nur 1 Euro starten, gewinnt Bernd im Mittel in mehr als der Hälfte aller Gesamtspiele. P.S.: Im Fall $\begin{eqnarray} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sieht die Formel anders aus, nämlich schlicht $\begin{eqnarray} p_n(k) = \frac{k}{n} \end{eqnarray}$ .
13.09.2023, 21:46	Lphmar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, vielen Dank. Kannst du vielleicht etwas dazu sagen, wie man von der Rekursion auf die geschlossene Formel kommen könnte? Auf diesen Term wäre ich im Leben nicht gekommen...
14.09.2023, 06:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray} p_n(k) = (1-q)\cdot p_n(k-1) + q\cdot p_n(k+1) \end{eqnarray}$ ist vom Typ her eine Lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung der einfachsten Gestalt, nämlich homogen und mit konstanten Koeffizienten: Die zugehörige charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda = 1-q + q\lambda^2 \end{eqnarray}$ besitzt die beiden Lösungen $\begin{eqnarray} \lambda_1 = \frac{1}{q}-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 = 1 \end{eqnarray}$ , damit besitzt die allgemeine Lösung im Fall $\begin{eqnarray} q\in \left(0,1\right)\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} \end{eqnarray}$ die Gestalt $\begin{eqnarray} p_n(k) = C_1\cdot \lambda_1^k + C_2\cdot \lambda_2^k = C_1\left(\frac{1}{q}-1\right)^k + C_2 \end{eqnarray}$ . Aus der Randbedingung $\begin{eqnarray} p_n(0)=0 \end{eqnarray}$ folgt zunächst $\begin{eqnarray} C_2 = -C_1 \end{eqnarray}$ und aus der zweiten Randbedingung $\begin{eqnarray} p_n(n)=1 \end{eqnarray}$ dann schließlich $\begin{eqnarray} C_1 = \frac{1}{\left(\frac{1}{q}-1\right)^n-1} \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »