Anzahl möglicher Gruppierungen

14.09.2023, 09:59	MarkusG	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl möglicher Gruppierungen Meine Frage: Wie viele Möglichkeiten bestehen 5 Europäer und 5 Amerikaner in 2er Gruppen aufzuteilen, sodass es stets mindestens 1 Gruppe mit 2 Euruopäern gibt? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{2}<br /> }{5!}=210 \end{eqnarray}$ Zunächst wählt man 2 Europäer aus den 5, um zu garantieren, dass 2 Europäer in einer Gruppe sind. Anschließend wählt man immer 2 Leute aus den verbleibenden Leuten. Zum Schluss teile ich durch 5! da ja die Anordnung der Gruppen keine Rolle spielt. Allerdings steht in den Lösungen 825 als Antwort. Kann mir jemand sagen, wo ich falsch abgebogen bin? Vielen Dank im Voraus
14.09.2023, 15:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mein Lösungsweg: 1) Genau eine europäische Gruppe: Auswahl der zwei Leute für diese Gruppe, genauso Auswahl der zwei Amerikaner für die dann logischerweise auch existierende rein amerikanische Gruppe. Die restlichen drei Amerikaner werden den drei restlichen Europäern zugeteilt (Permutation). Das ergibt $\begin{eqnarray} \binom{5}{2}^2\cdot 3! = 600 \end{eqnarray}$ Varianten. 2) Genau zwei europäische Gruppen: Auswahl von zwei aus fünf Europäern, und dann nochmal zwei aus drei für die zweite Gruppe. Da die Gruppen untereinander keine Reihenfolge besitzen, muss das nochmal durch zwei geteilt werden. Genauso bei den Amerikanern, die ja auch zwei reine Gruppen bilden. Für den jeweils einen Resteuropäer und Restamerikaner gibt es keine Auswahl mehr. Mit Hilfsgröße $\begin{eqnarray} m=\frac{1}{2!}\binom{5}{2}\binom{3}{2} = 15 \end{eqnarray}$ ergibt das Anzahl $\begin{eqnarray} m^2 = 225 \end{eqnarray}$ . Die Gesamtvariantenanzahl ist dann $\begin{eqnarray} 600+225 = 825 \end{eqnarray}$ . ----------------------------------------------------------- Alternativweg: Man zählt alle Aufteilungen und subtrahiert die ohne Gruppen mit 2 Europäern. Das ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{5!}\cdot \binom{10}{2,2,2,2,2} - 5! = \frac{10!}{2!^5\cdot 5!} - 5! = 945 - 120 = 825 \end{eqnarray}$ . ----------------------------------------------------------- In deiner Berechnung überlagern sich mehrere Fehler: Zum einen zählst du alle Aufteilungen doppelt, wo es nicht nur eine, sondern genau zwei rein europäische Gruppen gibt! Zum anderen dividierst du durch $\begin{eqnarray} 5! \end{eqnarray}$ - wieso? Wenn schon, dann allenfalls durch $\begin{eqnarray} 4! \end{eqnarray}$ . Und das käme dann hin: Die doppelte Zählung führt zu $\begin{eqnarray} 600+2\cdot 225 = 1050 \end{eqnarray}$ , was ja gerade das Fünffache deiner 210 ist.

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