Verteilung der Summe von Würfel

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Siegfried1957 Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der Summe von Würfel
Meine Frage:
Ich habe ein Programm geschrieben und einen Würfel für 100000 Runden simuliert, wobei jede einzelne Runde daraus bestand, die kumulative Summe der Augenzahlen zu bilden bis der Wert 100 überschritten wird. Danach ging die nächste Runde wieder bei 0 los.
Für große Werte sieht man eindeutig, dass sie alle in etwa gleich oft auftreten. Wie kann ich diese Wahrscheinlichkeit per Hand berechnen - also z.B. was ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der kumulativen Summe der Wert 59 getroffen wird?
Außerdem kann ich mir das große Gefälle zwischen der Häufigkeit von 6 und 7 nicht ganz erklären.

Meine Ideen:
?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute bei einem -seitigen Würfel, wird immer deutlich häufiger auftreten als .

Einfachstes Beispiel mit . Dann gibt es bei 3-mal Würfeln folgende gleichwahrscheinliche Möglichkeiten:
: Trifft 2 und 3
: Trifft 2
: Trifft 3
: Trifft 3
: Trifft 2 und 3
: Trifft 2 und 3
: Trifft 2
: Trifft 2

Damit haben wir 6x "2 wird getroffen" und nur 5x "3 wird getroffen". Für weiteres wird die Berechnung komplizierter. Alles andere überlasse ich Leuten mit mehr Statistik/Stochastikwissen Big Laugh
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilung der Summe von Würfel
Wieviele Seiten hat denn der Würfel?
Siegfried1957 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rede ist von einem handelsüblichen, 6 seitigen Würfel. Außerdem sehe ich, dass ich mich in meinem ursprünglichen Beitrag vertippt habe - in der Graphik sind nicht 100000 Runden, sondern nur 10000 Runden dargestellt.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Und was bedeuten die Zahlen auf der x-Achse?
Wieviele Würfe man braucht, bis man 100 erreicht?
Aber mit einmal würfeln kann man ja schlecht 100 erreichen.
Und mit x=100 sollte eigentlich Schluss sein.
Das muss also etwas anderes bedeuten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte dies Verteilung der Summe von n Augenzahlen beim Würfeln und summiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, d.h. .

Beispiele:







Für gilt tatsächlich das daraus zu vermutende , danach aber leider nicht mehr. Aber die oben verlinkte W-Verteilung lässt sich ja einfach implementieren und auch die nachfolgende Summation sollte in Sekundenbruchteilen erledigt sein.


P.S.: selbst ist natürlich KEINE Wahrscheinlichkeitsverteilung, da ja pro Runde mehrere Summen registriert werden statt nur einer.


EDIT: Wenn man Beschränkung "Summe 100" fallen lässt, so scheint nach Durchsicht der Ergebnisse aus obiger Rechnung zu gelten. Hab aber noch keine Gedanken zum Nachweis dessen parat. Augenzwinkern

Plausibel ist der Wert natürlich schon: Auf lange Sicht ist der Abstand von einer Zwischensumme zur nächsten innerhalb einer Runde im Mittel gleich , womit über viele Runden betrachtet jeder Wert mit Wahrscheinlichkeit ca. drankommt.

[attach]57287[/attach]

Das Bild stellt nicht p(k) dar, sondern . Augenzwinkern

EDIT: Für Genauigkeitsfanatiker hier noch die exakten Wahrscheinlichkeiten, ermittelt mit einem kleinen Python-Skript:

code:
1:
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100:
101:
102:
p(  1) = 0.1666666666666667 = 1 / 6
p(  2) = 0.1944444444444444 = 7 / 36
p(  3) = 0.2268518518518519 = 49 / 216
p(  4) = 0.2646604938271605 = 343 / 1296
p(  5) = 0.3087705761316872 = 2401 / 7776
p(  6) = 0.3602323388203018 = 16807 / 46656
p(  7) = 0.2536043952903521 = 70993 / 279936
p(  8) = 0.2680940167276330 = 450295 / 1679616
p(  9) = 0.2803689454414978 = 2825473 / 10077696
p( 10) = 0.2892884610397721 = 17492167 / 60466176
p( 11) = 0.2933931222418740 = 106442161 / 362797056
p( 12) = 0.2908302132602384 = 633074071 / 2176782336
p( 13) = 0.2792631923335612 = 3647371105 / 13060694016
p( 14) = 0.2835396585074294 = 22219348327 / 78364164096
p( 15) = 0.2861139321373954 = 134526474769 / 470184984576
p( 16) = 0.2870714299200451 = 809860055095 / 2821109907456
p( 17) = 0.2867019247334239 = 4852905842113 / 16926659444736
p( 18) = 0.2855867251486823 = 29004175431175 / 101559956668416
p( 19) = 0.2847128104634229 = 173492524161649 / 609359740010496
p( 20) = 0.2856210801517332 = 1044275922856663 / 3656158440062976
p( 21) = 0.2859679837591171 = 6273265544452129 / 21936950640377856
p( 22) = 0.2859436590294041 = 37636391604342439 / 131621703842267136
p( 23) = 0.2857556972142972 = 225669910499884753 / 789730223053602816
p( 24) = 0.2855979926277761 = 1353272198529569143 / 4738381338321616896
p( 25) = 0.2855998705409584 = 8119686580790083201 / 28430288029929701376
p( 26) = 0.2857477138872144 = 48743338858244686663 / 170581728179578208256
p( 27) = 0.2857688195097945 = 292481634550912337713 / 1023490369077469249536
p( 28) = 0.2857356254682408 = 1754685964614427833367 / 6140942214464815497216
p( 29) = 0.2857009532080469 = 10526838265608793999585 / 36845653286788892983296
p( 30) = 0.2856918292070052 = 63159012514978934961127 / 221073919720733357899776
p( 31) = 0.2857074686368767 = 378974819910256966792081 / 1326443518324400147398656
p( 32) = 0.2857254016528631 = 2273991642258456645718711 / 7958661109946400884391936
p( 33) = 0.2857216829471379 = 13643772278038932419082049 / 47751966659678405306351616
p( 34) = 0.2857138268533618 = 81860382804665160905236615 / 286511799958070431838109696
p( 35) = 0.2857101937508819 = 491156051267605381343085553 / 1719070799748422591028658176
p( 36) = 0.2857117338413545 = 2946952192752993776556961111 / 10314424798490535546171949056
p( 37) = 0.2857150512804126 = 17681918461372099246352386465 / 61886548790943213277031694336
p( 38) = 0.2857163150543353 = 106091980031871745681815374119 / 371319292745659279662190166016
p( 39) = 0.2857148006212473 = 636548506161891666510055438417 / 2227915756473955677973140996096
p( 40) = 0.2857136535669322 = 3819275703729057234625695990775 / 13367494538843734067838845976576
p( 41) = 0.2857136246858606 = 22915651905968942895185152425985 / 80204967233062404407033075859456
p( 42) = 0.2857141965083571 = 137494186613841203594353067421127 / 481229803398374426442198455156736
p( 43) = 0.2857146069528576 = 824966304791804747521429894353073 / 2887378820390246558653190730940416
p( 44) = 0.2857145328982650 = 4949796545808856570212192317560471 / 17324272922341479351919144385642496
p( 45) = 0.2857142358722533 = 29698748400294987824954568128027233 / 103945637534048876111514866313854976
p( 46) = 0.2857141417474210 = 178192431698575697181988830361407079 / 623673825204293256669089197883129856
p( 47) = 0.2857142231108358 = 1069154894656846985935225340384251153 / 3742042951225759540014535187298779136
p( 48) = 0.2857143228483316 = 6414931607273041901828818911103001911 / 22452257707354557240087211123792674816
p( 49) = 0.2857143439049941 = 38489592480255918117903595664120912065 / 134713546244127343440523266742756048896
p( 50) = 0.2857143000636835 = 230937519445424984524965336497909410567 / 808281277464764060643139600456536293376
p( 51) = 0.2857142612579199 = 1385624928476716879534937310717264538993 / 4849687664788584363858837602739217760256
p( 52) = 0.2857142654888643 = 8313749693972855204783480844439613190103 / 29098125988731506183153025616435306561536
p( 53) = 0.2857142861124382 = 49882501764481238705761495041735483652897 / 174588755932389037098918153698611839369216
p( 54) = 0.2857142966127053 = 299295021586258817964536591811180763775911 / 1047532535594334222593508922191671036215296
p( 55) = 0.2857142922401009 = 1795770102034880682780030767561843689271761 / 6285195213566005335561053533150026217291776
p( 56) = 0.2857142836292853 = 10774620287485344663751305213627680551597687 / 37711171281396032013366321198900157303750656
p( 57) = 0.2857142808902189 = 64647721105151664568262353755747302401769857 / 226267027688376192080197927193400943822503936
p( 58) = 0.2857142841622688 = 387886331073051949246254441121406422481131591 / 1357602166130257152481187563160405662935023616
p( 59) = 0.2857142872745029 = 2327318011789366112289403005571670364370475569 / 8145612996781542914887125378962433977610141696
p( 60) = 0.2857142874681803 = 13963908080201926112969812726334481825283766551 / 48873677980689257489322752273774603865660850176
p( 61) = 0.2857142859440929 = 83783448034284991379835269856798923062257462241 / 293242067884135544935936513642647623193965101056
p( 62) = 0.2857142848947582 = 502700686359455546523061773506227082269138954471 / 1759452407304813269615619081855885739163790606336
p( 63) = 0.2857142851056703 = 3016204120383272585029451518496576512068630996625 / 10556714443828879617693714491135314434982743638016
p( 64) = 0.2857142858082456 = 18097224766800952033109312252647889443623442528183 / 63340286662973277706162286946811886609896461828096
p( 65) = 0.2857142860825750 = 108583348705062352487731938563574888058084422187585 / 380041719977839666236973721680871319659378770968576
p( 66) = 0.2857142858839204 = 651500091777391802079149183317072363886522047165831 / 2280250319867037997421842330085227917956272625811456
p( 67) = 0.2857142856198771 = 3909000547051841549827324700659644963165214917957361 / 13681501919202227984531053980511367507737635754868736
p( 68) = 0.2857142855658411 = 23454003277875290290973678554178704187763820267385431 / 82089011515213367907186323883068205046425814529212416
p( 69) = 0.2857142856776883 = 140724019722340274058235779774544398563997794811899041 / 492534069091280207443117943298409230278554887175274496
p( 70) = 0.2857142857730245 = 844344118615779952680516368374834516200910515904757287 / 2955204414547681244658707659790455381671329323051646976
p( 71) = 0.2857142857671544 = 5066064711590594450706866506164301683524678276738394961 / 17731226487286087467952245958742732290027975938309881856
p( 72) = 0.2857142857145843 = 30396388263950772037280444217527961807434761135584798967 / 106387358923716524807713475752456393740167855629859291136
p( 73) = 0.2857142856863616 = 182378329565689412343158325225854404442553755316524581633 / 638324153542299148846280854514738362441007133779155746816
p( 74) = 0.2857142856974424 = 1094269977436575167053364615347004435696440020003453436615 / 3829944921253794893077685127088430174646042802674934480896
p( 75) = 0.2857142857193759 = 6565619865123476625557884360805269427290771341629039387569 / 22979669527522769358466110762530581047876256816049606885376
p( 76) = 0.2857142857263238 = 39393719191698828552444141984475742531633518276659314056087 / 137878017165136616150796664575183486287257540896297641312256
p( 77) = 0.2857142857185404 = 236362315143753970394846822208433918533564946906562842410337 / 827268102990819696904779987451100917723545245377785847873536
p( 78) = 0.2857142857104381 = 1418173890822307018071748191747435770388427238666433341571943 / 4963608617944918181428679924706605506341271472266715087241216
p( 79) = 0.2857142857097471 = 8509043344913261906330880936819065806631314455123189010399249 / 29781651707669509088572079548239633038047628833600290523447296
p( 80) = 0.2857142857136446 = 51054260070176028122033771735995997552747413177814552192125495 / 178689910246017054531432477289437798228285773001601743140683776
p( 81) = 0.2857142857163450 = 306325560423951345860194622658342143917378786671420741806169025 / 1072139461476102327188594863736626789369714638009610458844102656
p( 82) = 0.2857142857158398 = 1837953362540458495579333705870664357021973278984900730976763911 / 6432836768856613963131569182419760736218287828057662753064615936
p( 83) = 0.2857142857140925 = 11027720175175308924112502052666950255597919524178488160236552305 / 38597020613139683778789415094518564417309726968345976518387695616
p( 84) = 0.2857142857133512 = 66166321050880177226045541031711958886083430506376821146159183063 / 231582123678838102672736490567111386503858361810075859110326173696
p( 85) = 0.2857142857138367 = 396997926305955684347163303587815348899341552297416634038733708833 / 1389492742073028616036418943402668319023150170860455154661957042176
p( 86) = 0.2857142857145183 = 2381987557841416642928369544126477108021200258863688931801948600487 / 8336956452438171696218513660416009914138901025162730927971742253056
p( 87) = 0.2857142857146639 = 14291925347055783732436979154770710494327418502821706775537833108689 / 50021738714629030177311081962496059484833406150976385567830453518336
p( 88) = 0.2857142857143837 = 85751552082250612134605613768647362393682704848810141299056209730423 / 300130432287774181063866491774976356909000436905858313406982721110016
p( 89) = 0.2857142857141410 = 514509312493066653372489902999429820514561748637351460588941571081345 / 1800782593726645086383198950649858141454002621435149880441896326660096
p( 90) = 0.2857142857141491 = 3087055874958487360444036425226779512476755707141388680518594413227335 / 10804695562359870518299193703899148848724015728610899282651377959960576
p( 91) = 0.2857142857142821 = 18522335249759545974449874214211903433548181416284203796234958047604017 / 64828173374159223109795162223394893092344094371665395695908267759763456
p( 92) = 0.2857142857143564 = 111134011498586153412247868407290211116589590450001156095933546413915671 / 388969040244955338658770973340369358554064566229992374175449606558580736
p( 93) = 0.2857142857143294 = 666804068991453938993269069400266561864290013872463821869383110993088225 / 2333814241469732031952625840042216151324387397379954245052697639351484416
p( 94) = 0.2857142857142737 = 4000824413947942927132303786356883664226690059439597201766188635432623591 / 14002885448818392191715755040253296907946324384279725470316185836108906496
p( 95) = 0.2857142857142553 = 24004946483686115930173966988508174309747170138651094459914553926845749649 / 84017312692910353150294530241519781447677946305678352821897115016653438976
p( 96) = 0.2857142857142743 = 144029678902126293731470880005215822462302798026133391474164219547549015223 / 504103876157462118901767181449118688686067677834070116931382690099920633856
p( 97) = 0.2857142857142952 = 864178073412820869831419196581130132302004071910545110040873995889308564801 / 3024623256944772713410603088694712132116406067004420701588296140599523803136
p( 98) = 0.2857142857142974 = 5185068440476964711836001044729640359518404551215659957968979768556146936455 / 18147739541668636280463618532168272792698436402026524209529776843597142818816
p( 99) = 0.2857142857142875 = 31110410642860717409250170764696950426773227926474365766970982838405379009009 / 108886437250011817682781711193009636756190618412159145257178661061582856912896
p(100) = 0.2857142857142805 = 186662463857159746887081233650939816277072280598086888295658941442344128837463 / 653318623500070906096690267158057820537143710472954871543071966369497141477376
p(101) = 0.2857142857142817 = 1119974783142963003001283870100311949701345512773394371024009293121664415600545 / 3919911741000425436580141602948346923222862262837729229258431798216982848864256
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Zitat:
Original von willyengland
Und was bedeuten die Zahlen auf der x-Achse? Wieviele Würfe man braucht, bis man 100 erreicht?

Das wäre in der Tat auch eine interessante Fragestellung. Diese Zufallsgröße nimmt Werte zwischen 17 und 100 an, Modalwert wird vermutlich in der Nähe von liegen. Bei Siegfried ist das Kriterium allerdings , d.h. .

Zitat:
Original von willyengland
Und mit x=100 sollte eigentlich Schluss sein.

Zu den Werten für in Siegfrieds Tabelle muss man anmerken, dass das (im Gegensatz zu denen ) nicht mehr geeignete Schätzungen für die Wahrscheinlichkeit ist, Summe in einem Run zu treffen:

Denn es werden nur noch die Fälle erfasst, auf Summe zu kommen, wenn im vorletzten Schritt eine Summe auftrat. Z.B. für werden also nur noch die Fälle 99+6 und 100+5 erfasst, nicht aber mehr 101+4, 102+3, 103+2 und 104+1. Das erklärt das (nahezu lineare) Abflachen für . Diese Werte sind also nicht mehr richtig ernst zu nehmen.

--------------------------------------------------------------------

Nochmal genauer drüber nachgedacht ist Lösung der Differenzengleichung

für alle

mit den Startwerten sowie für . Auf Basis dieser Differenzengleichung kann man auch das oben dargestellte oszillierende Verhalten um quantitativ genau beschreiben: Es ergibt sich die explizite Folgendarstellung



mit und . Genauer gesagt sind die fünf komplexen Lösungen der charakteristischen Gleichung . Mein obiger Skalierungsfaktor 1.37 im Plot ist in dem Sinne gleich , es ergibt sich eine Periodendauer von des maßgeblichen (d.h. des ersten) Störglieds.
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