Endlich erzeugte Ideale

17.09.2023, 11:27	Moranginho	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlich erzeugte Ideale Meine Frage: Hallo zusammen, kann mir jemand erklären was endlcih erzeugte Ideale sind? Meine Ideen: Bedeutet es, dass darin nur eine bestimmte anzahl an Elementen steckt, oder etwas anderes? Wenn ja, wie kann es sein, das alle Ideale von Z endlich erzeugt sind, wenn es ja bekanntlichermaßen unendlich Zahlen viele gibt?
17.09.2023, 14:23	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Ideal $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ eines Rings $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ heißt endlich erzeugt, wenn es als $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -Teilmodul von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ endlich erzeugt ist. D.h. es gibt eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray} B\subseteq I \end{eqnarray}$ , sodass jedes $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ geschrieben werden kann als $\begin{eqnarray} x=\sum_{b\in B} r_b b \end{eqnarray}$ mit geeigneten Koeffizienten $\begin{eqnarray} r_b \in R \end{eqnarray}$ . Dass es unendliche viele ganze Zahlen gibt, steht dem nicht entgegen. So kann man ja beispielsweise den relativ bekannten reellen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ auch bloß mit den zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, ~ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erzeugen. Es hat auch nichts damit zu tun, wie viele Elemente das jeweilige Ideal umfasst: Vom Nullideal abgesehen haben alle Ideale von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ unendlich viele Elemente. Sie werden aber in der Tat jeweils alle von endlich vielen (tatsächlich von einem einzigen) Elementen erzeugt.

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