Natürliche Zahl auf Quadratzahl überprüfen

17.09.2023, 14:47	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche Zahl auf Quadratzahl überprüfen Hallo, schönen Sonntag ich möchte gerne (in python) überprüfen, ob eine Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine Quadratzahl ist. Dafür gibt es natürlich Funktionen, aber meine Fragestellung geht darüber hinaus. Man könnte ja beispielsweise die Wurzel der Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ziehen, abrunden und quadrieren bzw. aufrunden und quadrieren und dann vergleichen. Aber das ist ja wiederum mit einer (meiner Meinung nach großen) Fehlerwahrscheinlichkeit versehen. Denn möglicherweise ist ja erst die 100. Nachkommastelle ungleich null. Wenn ich dann aber nur 64 Nachkommastellen habe, finde ich das nicht heraus. Aber selbst wenn ich jetzt die Genauigkeit erhöhe, kann es ja sein, dass auch "danach" erst eine Unterscheidung kommt. Also hab' ich mich gefragt: Wie finde ich raus, die wieviele Nachkommastelle spätestens ungleich Null ist? Sagen wir, ich betrachte $\begin{eqnarray} \sqrt{10^{1000}+1} \end{eqnarray}$ . Diese wird natürlich sehr nah an $\begin{eqnarray} 10^{500} \end{eqnarray}$ liegen. Mit Wolframalpha erhalte ich dieses Ergebnis (die Stelle der $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ ist es was ich suche. Gezählt habe ich aber nicht ) [attach]57285[/attach]
17.09.2023, 16:02	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Spätestens die n-te Nachkommastelle ist ungleich Null? EDIT: Ich meinte: Besteht n aus m Ziffern, ist spätestens die m-te Nachkommastelle ist ungleich Null.
17.09.2023, 17:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachtet man die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x} \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8} < \sqrt{1+x} < 1+\frac{x}{2} \end{eqnarray}$ zumindest für $\begin{eqnarray} 0<x\leq 1 \end{eqnarray}$ . Angewandt auf $\begin{eqnarray} x=10^{-1000} \end{eqnarray}$ bekommt man hier für $\begin{eqnarray} y:=\sqrt{10^{1000}+1} = 10^{500}\cdot \sqrt{1+10^{-1000}} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} 10^{500}\cdot \left[ 1 + 5\cdot 10^{-1001} - 1.25\cdot 10^{-2001} \right] < y < 10^{500}\cdot \left[ 1 + 5\cdot 10^{-1001} \right] \end{eqnarray}$ .
19.09.2023, 16:21	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Entwicklung ist sicherlich das, was ich hier brauche. Ich probiere mal aus, danke HAL @willyengland: Woher kommt deine Aussage?
19.09.2023, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Beantwortung deiner Frage hier nochmal die Dezimaldarstellungen der beiden von mir genannten Schranken: $\begin{eqnarray} 1 + 5\cdot 10^{-1001} - 1.25\cdot 10^{-2001} = 1{,}\underbrace{00\ldots 0}_{1000\times}4\underbrace{99\ldots 9}_{999\times}875 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + 5\cdot 10^{-1001} = 1{,}\underbrace{00\ldots 0}_{1000}5 \end{eqnarray}$
19.09.2023, 16:35	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ok, ich hätte deine Antwort erst durchprobieren sollen. Dann wäre mir das wohl aufgefallen Danke Sehr!
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